Las matemáticas puras, las matemáticas por las matemáticas, sin tener como meta ninguna finalidad práctica- empezaron cuando el hombre pensó por primera vez en los números como tales números, y cuando pensó en las formas como tales formas, prescindiendo de sus características. Pero estas matemáticas puras iniciales no eran de un tipo lógico y sistemático como las que conocemos en la actualidad. Los olvidados genios de Mesopotamia que inventaron el sistema de base 60 apenas se detuvieron a ponderar las conexiones entre sus descubrimientos o a investigar profundamente los procesos de pensamiento por los que llegaron a aquéllos. Las tablas cuneiformes y los rollos de papiros en los que ellos y otros pueblos antiguos anotaban sus resultados matemáticos están tan desprovistos de razonamiento como las recetas de los libros de cocina. Sume esto o reste aquello, dicen, y encontrará la verdad. Un famoso texto egipcio, el Rind Papyrus, se describe a sí mismo como «direcciones para saber todas las cosas dudosas», y son reglas dadas en forma arbitraria.
Cuando los primitivos griegos se trasladaron al sur de la Península Balcánica para invadir, estudiar y finalmente subyugar las civilizaciones del Oriente Medio, pasaron a heredar el saber matemático que se había estado acumulando durante siglos. Los fascinó y los amedrentó, pero también los dejó insatisfechos. ¿Por qué eran ciertas las «direcciones dudosas»? ¿Qué significaban? Con su escepticismo y razón, los griegos, por primera vez, formularon conscientemente los dos procesos mentales vitales para el progreso matemático: la abstracción y la demostración.
La abstracción es el arte de percibir una o varias cualidades comunes en cosas distintas y formar una idea general partiendo de ellas. Abstraemos, por ejemplo, cuando se nos aparecen como edificios las iglesias, los ranchos y los rascacielos; cuando se nos aparecen como círculos las ruedas de carro, los neumáticos de automóvil y los «hula hoops».
La demostración es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión de forma tal que no se pueda encontrar ningún error en ninguna etapa del argumento. Los griegos distinguieron entre dos clases de premisas: las premisas generales, que denominaron axiomas, y las premisas específicas de las matemáticas, a las que denominaron postulados. Pero a fin de poder disponer de premisas para empezar, invocaron otro proceso mental denominado inducción. Mientras la abstracción revela un denominador común en las cosas diferentes -por, ejemplo, los gatos y los perros son animales-, la inducción lo revela en la misma clase de cosas. A partir de nuestra observación de los perros, hacemos la inducción de que todos los perros ladran; o de nuestra observación de la raza Doberman pinscher, inducimos que todos los Doberman pinscher son perros. Utilizando la información de estas dos premisas, podemos, mediante un proceso de razonamiento conocido con el nombre de deducción, probar que todos los Doberman pinscher ladran. Esta conclusión ineludible, o teorema, también puede tener un corolario, una proposición que necesariamente se desprende de ella. Un corolario en este caso sería: El Doberman pinscher de mi vecino ladra. Los griegos idearon todavía otra técnica para obtener una demostración, el método que llamamos en terminología latina reductio ad absurdum (reducción al absurdo). A través de este probamos la validez de una premisa al suponer deliberadamente que lo opuesto és cierto y demostrar después que esta premisa opuesta no tiene validez. Supóngase que al señor Smith le dicen que su perro ladra constantemente. Empieza con dos premisas: que todos los perros son animales y que los perros que ladran constantemente no pueden comer ni dormir. De este último grupo de premisas deduce que algún perro no come ni duerme. Esta conclusión, no obstante, es absurda puesto que contradice la anterior que todos los perros deben comer y dormir. Smith entonces examina de nuevo las cuatro premisas. La única de la que puede dudarse es la de que algún perro ladra constantemente. Puesto que le condujo a una conclusión absurda, debe ser falsa, y la opuesta de ésta -que ningún perro ladra constantemente- debe ser cierta.
Como puede verse a partir del viaje mental de Smith, los principios de la demostración griega no son realmente más que una formalización de los procesos de pensamiento que utilizamos cuando tratamos de presentar un argumento en forma ordenada. La forma de razonar de Smith es, naturalmente, mucho menos rigurosa y menos exhaustiva de lo que sería cualquier razonamiento matemático. Pero el matemático, a pesar de que utiliza conceptos no tan palpables como un perro que ladra, sigue utilizando las mismas reglas básicas de la abstracción y la deducción. Abstrae, por ejemplo, cuando reconoce que los números 6, 52 y 200 son divisibles por dos. Utiliza la reductio ad absurdum al examinar la premisa, por ejemplo, de que una fracción desconocida -denominada fracción reducida a su mínima expresión. Si prueba algebraicamente que cada una de las incógnitas, numerador y denominador, es un número par, prueba que su premisa es «absurda», ya que una fracción con dos números pares no está reducida a su mínima expresión.
2. Una pirámide de demostraciones
Con anterioridad a los griegos, los matemáticos no esperaban que nadie se interesara en las batallas mentales que habían tenido que librar para alcanzar un resultado: una fórmula, por ejemplo, de la cantidad de piedra que se requiere para construir una pirámide. Los griegos no se contentaron simplemente con comprobar que un resultado era operante. Querían explicar el por qué de un modo lógico y corto.
El escribir la demostración se convirtió en un arte en el que resultaba una cuestión de orgullo ahorrar al máximo las etapas del razonamiento y, aun así, no omitir nada. Los matemáticos griegos acumularon un repertorio de teoremas demostrados, cada uno de los cuales podía utilizarse sin volverlo a demostrar para formular algún teorema más adelantado. Además, todos los teoremas podían colocarse, hilera sobre hilera, en una pirámide invertida de conocimiento en constante expansión. El punto de apoyo de la pirámide podía hacerse coincidir con la experiencia cotidiana a través de unos axiomas evidentes por sí mismos: la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta o dos líneas rectas sólo pueden cortarse una vez.
Cuando los primitivos griegos se trasladaron al sur de la Península Balcánica para invadir, estudiar y finalmente subyugar las civilizaciones del Oriente Medio, pasaron a heredar el saber matemático que se había estado acumulando durante siglos. Los fascinó y los amedrentó, pero también los dejó insatisfechos. ¿Por qué eran ciertas las «direcciones dudosas»? ¿Qué significaban? Con su escepticismo y razón, los griegos, por primera vez, formularon conscientemente los dos procesos mentales vitales para el progreso matemático: la abstracción y la demostración.
La abstracción es el arte de percibir una o varias cualidades comunes en cosas distintas y formar una idea general partiendo de ellas. Abstraemos, por ejemplo, cuando se nos aparecen como edificios las iglesias, los ranchos y los rascacielos; cuando se nos aparecen como círculos las ruedas de carro, los neumáticos de automóvil y los «hula hoops».
La demostración es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión de forma tal que no se pueda encontrar ningún error en ninguna etapa del argumento. Los griegos distinguieron entre dos clases de premisas: las premisas generales, que denominaron axiomas, y las premisas específicas de las matemáticas, a las que denominaron postulados. Pero a fin de poder disponer de premisas para empezar, invocaron otro proceso mental denominado inducción. Mientras la abstracción revela un denominador común en las cosas diferentes -por, ejemplo, los gatos y los perros son animales-, la inducción lo revela en la misma clase de cosas. A partir de nuestra observación de los perros, hacemos la inducción de que todos los perros ladran; o de nuestra observación de la raza Doberman pinscher, inducimos que todos los Doberman pinscher son perros. Utilizando la información de estas dos premisas, podemos, mediante un proceso de razonamiento conocido con el nombre de deducción, probar que todos los Doberman pinscher ladran. Esta conclusión ineludible, o teorema, también puede tener un corolario, una proposición que necesariamente se desprende de ella. Un corolario en este caso sería: El Doberman pinscher de mi vecino ladra. Los griegos idearon todavía otra técnica para obtener una demostración, el método que llamamos en terminología latina reductio ad absurdum (reducción al absurdo). A través de este probamos la validez de una premisa al suponer deliberadamente que lo opuesto és cierto y demostrar después que esta premisa opuesta no tiene validez. Supóngase que al señor Smith le dicen que su perro ladra constantemente. Empieza con dos premisas: que todos los perros son animales y que los perros que ladran constantemente no pueden comer ni dormir. De este último grupo de premisas deduce que algún perro no come ni duerme. Esta conclusión, no obstante, es absurda puesto que contradice la anterior que todos los perros deben comer y dormir. Smith entonces examina de nuevo las cuatro premisas. La única de la que puede dudarse es la de que algún perro ladra constantemente. Puesto que le condujo a una conclusión absurda, debe ser falsa, y la opuesta de ésta -que ningún perro ladra constantemente- debe ser cierta.
Como puede verse a partir del viaje mental de Smith, los principios de la demostración griega no son realmente más que una formalización de los procesos de pensamiento que utilizamos cuando tratamos de presentar un argumento en forma ordenada. La forma de razonar de Smith es, naturalmente, mucho menos rigurosa y menos exhaustiva de lo que sería cualquier razonamiento matemático. Pero el matemático, a pesar de que utiliza conceptos no tan palpables como un perro que ladra, sigue utilizando las mismas reglas básicas de la abstracción y la deducción. Abstrae, por ejemplo, cuando reconoce que los números 6, 52 y 200 son divisibles por dos. Utiliza la reductio ad absurdum al examinar la premisa, por ejemplo, de que una fracción desconocida -denominada fracción reducida a su mínima expresión. Si prueba algebraicamente que cada una de las incógnitas, numerador y denominador, es un número par, prueba que su premisa es «absurda», ya que una fracción con dos números pares no está reducida a su mínima expresión.
2. Una pirámide de demostraciones
Con anterioridad a los griegos, los matemáticos no esperaban que nadie se interesara en las batallas mentales que habían tenido que librar para alcanzar un resultado: una fórmula, por ejemplo, de la cantidad de piedra que se requiere para construir una pirámide. Los griegos no se contentaron simplemente con comprobar que un resultado era operante. Querían explicar el por qué de un modo lógico y corto.
El escribir la demostración se convirtió en un arte en el que resultaba una cuestión de orgullo ahorrar al máximo las etapas del razonamiento y, aun así, no omitir nada. Los matemáticos griegos acumularon un repertorio de teoremas demostrados, cada uno de los cuales podía utilizarse sin volverlo a demostrar para formular algún teorema más adelantado. Además, todos los teoremas podían colocarse, hilera sobre hilera, en una pirámide invertida de conocimiento en constante expansión. El punto de apoyo de la pirámide podía hacerse coincidir con la experiencia cotidiana a través de unos axiomas evidentes por sí mismos: la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta o dos líneas rectas sólo pueden cortarse una vez.
A medida que las matemáticas progresaron, el así denominado nivel de rigor continuó aumentando, como el nivel de agua. Debido a ello, los matemáticos modernos han encontrado supuestos ocultos en alguna de las demostraciones griegas. Incluso han señalado algunas limitaciones en el propio método axiomático. Han tenido que idear otros grupos de axiomas sobre los cuales construir las nuevas ramas de las matemáticas. Pero el sistema fundamental griego de la abstracción y de la demostración permanece intacto. Toda rama de las matemáticas modernas, en todo lo posible, está organizada según este sistema.
3. La luna y la cabeza de un alfiler
El trampolín de la revolución trascendental de los griegos en el pensamiento fue la geometría. Con su propensión artística natural, fueron atraídos instintivamente por la pulcritud y el atractivo visual de esta matemática de los puntos, las líneas, las áreas y los volúmenes. Tanto los babilonios como los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria, ideada para el deslinde de terrenos y la medición de los edificios, simplemente como operaciones de tipo práctico de recuento y medición. Los griegos realizaron un planteamiento mucho más abstracto. Creyeron que una forma en particular tiene ciertas propiedades constantes innatas, que son independientes de su tamaño. Así, un triángulo rectángulo de 45° -que tiene dos lados iguales- puede extenderse hasta la Luna o puede caber en la cabeza de un alfiler, pero en cualquiera de los casos continúa siendo un triángulo rectángulo de 45° (isósceles).
El primero de los griegos en aferrarse a esta posibilidad fundamental para la abstracción en geometría -y vislumbrar el sueño griego según el cual el conocimiento se erigiría en sólidas pirámides invertidas de demostraciones a partir de unos cuantos axiomas elementales- fue probablemente Tales de Mileto, un magnate de la industria del aceite de oliva que operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entre los años 600 al 550 a. de c. En sus viajes tomó contacto con el conocimiento de las viejas matemáticas y de la astronomía, y cuando por fin se retiró se dedicó a ellas como diversión. Las cinco proposiciones que se cree que demostró, eran tan simples como para indicar que estaba tratando conscientemente de establecer los fundamentos de la geometría en términos básicos inamovibles.
La ambición de Tales no se habría colmado de no haber sido por otro griego quien, según se cree, estudió con él: Pitágoras, un hombre de una personalidad magnética y poderosa. La leyenda dice que a sugerencia de Tales, Pitágoras pasó años viajando, tratando de aumentar sus conocimientos matemáticos. Entre las fuentes que se dice buscó se hallaban los sacerdotes de Zoroastro, quienes pasaron a custodiar el conocimiento matemático bajo el imperio persa. Después, una vez hubo aprendido todo cuanto pudo, Pitágoras, alrededor del año 540 a. de c., fundó una secta semirreligiosa, semimatemática, en Crotona, ciudad griega situada en el empeine de la bota de Italia. Junto con las matemáticas, inculcó a sus discípulos la veneración a los números; a creer en la reencarnación y la transmisión de las almas de hombre a hombre y del hombre a la bestia; a no comer nunca judías; a permanecer siempre anónimos, y a escribir el nombre de la hermandad pitagórica en todo escrito o descubrimiento.
Entre las enseñanzas de Pitágoras que más se recuerdan están, naturalmente; el teorema que dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado más largo -la hipotenusa- es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados más cortos. Los babilonios habían descubierto este teorema con mil años de anterioridad, pero se le atribuye a la escuela pitagórica el ser la primera en demostrarlo. Sigue siendo enormemente útil para la ciencia. Y es de interés vital para muchos de nosotros; por ejemplo, los carpinteros lo usan para estar seguros de que las habitaciones que pavimentan son rectángulos perfectos.
4. Legado para un pianista de jazz
Pitágoras hizo una segunda contribución altamente práctica, que figura en toda ejecución de un pianista de jazz o de un cuarteto de cuerda. Se trata de su descubrimiento de las matemáticas que subyacen en la escala musical. Pitágoras averiguó que existía una maravillosa conexión entre la armonía musical y los números enteros con los que contamos: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Pulse una cuerda y haga sonar una nota, después pulse una cuerda igual de tensa y doble de larga que la anterior y se oirá una nueva nota, justamente una octava armónica por debajo de la primera. Empezando por cualquier cuerda y considerando la nota que produce, se puede bajar la escala aumentando la longitud de la cuerda según simples fracciones que pueden expresarse mediante las relaciones de los números enteros. Por ejemplo, 16/15 de una cuerda que da el Do dan la nota baja siguiente Si; 6/5 de ésta dan La; 4/3 de ésta, Sol; 3/2 de ésta, Fa; 8/5 de ésta, Mi; 16/9 de ésta, Re, y exactamente dos de ésta vuelven a dar el Do de octava más baja.
Pitágoras descubrió las relaciones entre los números enteros, entre Do, Fa, Sol y el Do inferior y entre sus equivalentes en cualquier escala. Llegó a la convicción de que la armonía, la belleza, la naturaleza, pueden expresarse por medio de relaciones entre números enteros. Incluso creyó que los planetas, al girar sobre sus órbitas, deben producir una armonía celeste basada en los números enteros: la denomina «música de las esferas».
3. La luna y la cabeza de un alfiler
El trampolín de la revolución trascendental de los griegos en el pensamiento fue la geometría. Con su propensión artística natural, fueron atraídos instintivamente por la pulcritud y el atractivo visual de esta matemática de los puntos, las líneas, las áreas y los volúmenes. Tanto los babilonios como los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria, ideada para el deslinde de terrenos y la medición de los edificios, simplemente como operaciones de tipo práctico de recuento y medición. Los griegos realizaron un planteamiento mucho más abstracto. Creyeron que una forma en particular tiene ciertas propiedades constantes innatas, que son independientes de su tamaño. Así, un triángulo rectángulo de 45° -que tiene dos lados iguales- puede extenderse hasta la Luna o puede caber en la cabeza de un alfiler, pero en cualquiera de los casos continúa siendo un triángulo rectángulo de 45° (isósceles).
El primero de los griegos en aferrarse a esta posibilidad fundamental para la abstracción en geometría -y vislumbrar el sueño griego según el cual el conocimiento se erigiría en sólidas pirámides invertidas de demostraciones a partir de unos cuantos axiomas elementales- fue probablemente Tales de Mileto, un magnate de la industria del aceite de oliva que operaba a lo largo de las costas del Asia Menor entre los años 600 al 550 a. de c. En sus viajes tomó contacto con el conocimiento de las viejas matemáticas y de la astronomía, y cuando por fin se retiró se dedicó a ellas como diversión. Las cinco proposiciones que se cree que demostró, eran tan simples como para indicar que estaba tratando conscientemente de establecer los fundamentos de la geometría en términos básicos inamovibles.
La ambición de Tales no se habría colmado de no haber sido por otro griego quien, según se cree, estudió con él: Pitágoras, un hombre de una personalidad magnética y poderosa. La leyenda dice que a sugerencia de Tales, Pitágoras pasó años viajando, tratando de aumentar sus conocimientos matemáticos. Entre las fuentes que se dice buscó se hallaban los sacerdotes de Zoroastro, quienes pasaron a custodiar el conocimiento matemático bajo el imperio persa. Después, una vez hubo aprendido todo cuanto pudo, Pitágoras, alrededor del año 540 a. de c., fundó una secta semirreligiosa, semimatemática, en Crotona, ciudad griega situada en el empeine de la bota de Italia. Junto con las matemáticas, inculcó a sus discípulos la veneración a los números; a creer en la reencarnación y la transmisión de las almas de hombre a hombre y del hombre a la bestia; a no comer nunca judías; a permanecer siempre anónimos, y a escribir el nombre de la hermandad pitagórica en todo escrito o descubrimiento.
Entre las enseñanzas de Pitágoras que más se recuerdan están, naturalmente; el teorema que dice que en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre el lado más largo -la hipotenusa- es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados más cortos. Los babilonios habían descubierto este teorema con mil años de anterioridad, pero se le atribuye a la escuela pitagórica el ser la primera en demostrarlo. Sigue siendo enormemente útil para la ciencia. Y es de interés vital para muchos de nosotros; por ejemplo, los carpinteros lo usan para estar seguros de que las habitaciones que pavimentan son rectángulos perfectos.
4. Legado para un pianista de jazz
Pitágoras hizo una segunda contribución altamente práctica, que figura en toda ejecución de un pianista de jazz o de un cuarteto de cuerda. Se trata de su descubrimiento de las matemáticas que subyacen en la escala musical. Pitágoras averiguó que existía una maravillosa conexión entre la armonía musical y los números enteros con los que contamos: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Pulse una cuerda y haga sonar una nota, después pulse una cuerda igual de tensa y doble de larga que la anterior y se oirá una nueva nota, justamente una octava armónica por debajo de la primera. Empezando por cualquier cuerda y considerando la nota que produce, se puede bajar la escala aumentando la longitud de la cuerda según simples fracciones que pueden expresarse mediante las relaciones de los números enteros. Por ejemplo, 16/15 de una cuerda que da el Do dan la nota baja siguiente Si; 6/5 de ésta dan La; 4/3 de ésta, Sol; 3/2 de ésta, Fa; 8/5 de ésta, Mi; 16/9 de ésta, Re, y exactamente dos de ésta vuelven a dar el Do de octava más baja.
Pitágoras descubrió las relaciones entre los números enteros, entre Do, Fa, Sol y el Do inferior y entre sus equivalentes en cualquier escala. Llegó a la convicción de que la armonía, la belleza, la naturaleza, pueden expresarse por medio de relaciones entre números enteros. Incluso creyó que los planetas, al girar sobre sus órbitas, deben producir una armonía celeste basada en los números enteros: la denomina «música de las esferas».
Los pitagóricos quedaron tan prendados del incomparable poder de los números enteros, tanta certeza tenían de que todo el universo estaba construido a base de estos números enteros, que llegaron a clasificarlos en categorías tales como «perfectos» y «amigables». También denominaron femeninos a los pares y masculinos a los impares, a excepción únicamente del número uno, que lo consideraron como el generador de todos los números. (El símbolo para el matrimonio era el número 5, suma del primer número femenino, el 2, y el primer número masculino, el 3.) Después, en el despertar de esta bonita fantasía, tuvo lugar un soberano descubrimiento tan poco pitagórico que la hermandad trató de suprimirlo.
5. La diablura de una raíz cuadrada
El descubrimiento perturbador fue un nuevo tipo de número -el que denominamos «número irracional». La característica del número irracional es que independientemente de todo se mantiene obstinadamente sin fin. Este rasgo irritante surge a menudo en lo que denominamos una raíz cuadrada-, la cantidad que, cuando se multiplica por ella misma, da el número dado. La raíz cuadrada de cuatro (simbólicamente escrita como √4 es un magnífico 2; √9 es 3. Pero una raíz cuadrada irracional se transforma en una fracción decimal con una serie sin fin de dígitos que no se repiten a partir de la coma decimal. Por ejemplo, √2 es 1,41421... y así hasta el infinito, √3 es 1,73205... hasta el infinito. Lo más perturbador es que las raíces cuadradas irracionales son frecuentes.
El supuesto del triángulo rectángulo servirá de ejemplo. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden tres y cuatro unidades de longitud, y cuya hipotenusa es un número exacto de cinco unidades de longitud, es excepcional. Por cada uno de este tipo de triángulo de lados 3-4-5, 5-12-13 ó 7-24-25, hay innumerables triángulos rectángulos «imperfectos» tales como 1-1-√2 ó 1-2-√5 ó 2-√5-3. Supongamos que se está midiendo un campo cuya superficie tiene la forma de un triángulo rectángulo con dos lados iguales, entonces el tercer lado no será exacto - tanto si se mide en milésimas de pulgada o de centímetro. Independientemente del número de veces en que se subdivida la longitud de la hipotenusa, nunca se obtendrá una subdivisión que sea igual a una subdivisión de la longitud de uno cualquiera de los catetos.
Los pitagóricos se dieron cuenta que en la mayor parte de los triángulos rectángulos las relaciones irreducibles entre las longitudes de los lados no podían expresarse en función de los números enteros, ni incluso si se escogiera para intentarlo todos los números enteros y todas sus fracciones -desde uno a un trillón o desde 1/1 a una trillonésima-. Este descubrimiento desalentador afectó a todo el curso del pensamiento matemático griego. Hizo abandonar, efectivamente, toda esperanza de que la medición pudiera utilizarse como un puente entre la geometría y la aritmética de los números enteros. Los griegos empezaron a limitarse a la geometría de las formas, que se refería, no a la medición, sino sólo a la forma. Por lo tanto, podían dibujar, e incluso medir, ciertos números irracionales, tales como: √2 ó √3, como una hipotenusa definida en un determinado triángulo rectángulo. Estos números podían encerrarse dentro de figuras rectilíneas delimitadas por líneas rectas, triángulos, cuadrados y pirámides.
5. La diablura de una raíz cuadrada
El descubrimiento perturbador fue un nuevo tipo de número -el que denominamos «número irracional». La característica del número irracional es que independientemente de todo se mantiene obstinadamente sin fin. Este rasgo irritante surge a menudo en lo que denominamos una raíz cuadrada-, la cantidad que, cuando se multiplica por ella misma, da el número dado. La raíz cuadrada de cuatro (simbólicamente escrita como √4 es un magnífico 2; √9 es 3. Pero una raíz cuadrada irracional se transforma en una fracción decimal con una serie sin fin de dígitos que no se repiten a partir de la coma decimal. Por ejemplo, √2 es 1,41421... y así hasta el infinito, √3 es 1,73205... hasta el infinito. Lo más perturbador es que las raíces cuadradas irracionales son frecuentes.
El supuesto del triángulo rectángulo servirá de ejemplo. Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden tres y cuatro unidades de longitud, y cuya hipotenusa es un número exacto de cinco unidades de longitud, es excepcional. Por cada uno de este tipo de triángulo de lados 3-4-5, 5-12-13 ó 7-24-25, hay innumerables triángulos rectángulos «imperfectos» tales como 1-1-√2 ó 1-2-√5 ó 2-√5-3. Supongamos que se está midiendo un campo cuya superficie tiene la forma de un triángulo rectángulo con dos lados iguales, entonces el tercer lado no será exacto - tanto si se mide en milésimas de pulgada o de centímetro. Independientemente del número de veces en que se subdivida la longitud de la hipotenusa, nunca se obtendrá una subdivisión que sea igual a una subdivisión de la longitud de uno cualquiera de los catetos.
Los pitagóricos se dieron cuenta que en la mayor parte de los triángulos rectángulos las relaciones irreducibles entre las longitudes de los lados no podían expresarse en función de los números enteros, ni incluso si se escogiera para intentarlo todos los números enteros y todas sus fracciones -desde uno a un trillón o desde 1/1 a una trillonésima-. Este descubrimiento desalentador afectó a todo el curso del pensamiento matemático griego. Hizo abandonar, efectivamente, toda esperanza de que la medición pudiera utilizarse como un puente entre la geometría y la aritmética de los números enteros. Los griegos empezaron a limitarse a la geometría de las formas, que se refería, no a la medición, sino sólo a la forma. Por lo tanto, podían dibujar, e incluso medir, ciertos números irracionales, tales como: √2 ó √3, como una hipotenusa definida en un determinado triángulo rectángulo. Estos números podían encerrarse dentro de figuras rectilíneas delimitadas por líneas rectas, triángulos, cuadrados y pirámides.
Pero ni los números irracionales ni el concepto de infinito podían quedar fuera ni siquiera de la geometría de las formas más elemental. Después de los triángulos ambos conceptos resurgen de nuevo en el problema del círculo. La relación de la circunferencia de un círculo con su diámetro es en sí misma un número irracional, 3,14159..., que denominamos pi, o simbólicamente π. (Se cree que la primera letra de la palabra griega peripheria - que significa «periferia» - inspiró el símbolo п. Cualquiera que sea su origen, la cantidad que representa ha sido calculada con más de cien mil decimales, y sabemos que nunca resultará exacta). Los griegos no reconocieron toda la extensión de la irracionalidad de π y, por lo tanto, perdieron mucho tiempo tratando de resolver el gran problema que este hecho hizo imposible - construir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado, o sea, literalmente hablando, trataron de «cuadrar el círculo».
6. El infinito y la tarta de manzana
La mejor forma para poder calcular el área de un círculo consiste en considerarlo como suma de un número infinito de triángulos infinitamente estrechos colocados alrededor del centro del círculo como pequeños pedazos de tarta de manzana. La altura de cada triángulo infinitamente estrecho es la misma que el radio del círculo. La suma de las bases infinitamente cortas de todos los triángulos es la misma que la circunferencia del círculo. Y puesto que el área conjunta de todos los triángulos debería ser igual a la mitad del radio por su circunferencia, el área del círculo debe ser igual a la mitad del radio por la circunferencia.
6. El infinito y la tarta de manzana
La mejor forma para poder calcular el área de un círculo consiste en considerarlo como suma de un número infinito de triángulos infinitamente estrechos colocados alrededor del centro del círculo como pequeños pedazos de tarta de manzana. La altura de cada triángulo infinitamente estrecho es la misma que el radio del círculo. La suma de las bases infinitamente cortas de todos los triángulos es la misma que la circunferencia del círculo. Y puesto que el área conjunta de todos los triángulos debería ser igual a la mitad del radio por su circunferencia, el área del círculo debe ser igual a la mitad del radio por la circunferencia.
No había nada de erróneo en esta conclusión. Era operativa, aplicable, pero el tratar de demostrarla a través de rigurosas etapas lógicas fue una travesía intelectual tan ardua como la odisea de Ulises. A medida que un triángulo se va estrechando infinitamente, exactamente, ¿cuándo deja de existir y empieza a comportarse como si tuviera la forma de un trozo de tarta? Cierto que no asume la forma de un trozo de tarta propiamente hasta que se ha estrechado infinitamente, y entonces la verdad es que ya no es algo, sino nada. ¿Cómo puede sumarse un número infinito de nadas para producir algo?
Estas molestas objeciones a la lógica de la división del círculo en un gran número de partes fueron expuestas - probablemente con júbilo - por la escuela eleática de filósofos, una escuela que se originó en Elea, próxima a Crotona, y a los pitagóricos. Las matemáticas no fueron un simple pasatiempo para los griegos; sus problemas fueron discutidos abiertamente. Lo que visto retrospectivamente parece una ininterrumpida marcha de progreso hacia un mayor conocimiento, fue una guerra intelectual parecida a una discusión de taberna. Las armas eran argumentos sofisticados. Su resultado final fue el triunfo de la demostración.
Los eleáticos estaban profundamente interesados en la comprensión científica -no tan sólo de los triángulos y de los círculos, sino de todo el cosmos. Su mayor representante fue Zenón, maestro en obtener descubrimientos que provocaran la perplejidad, esto es, la paradoja - una proposición que, aunque lógicamente válida, se escapa a los ojos del sentido común. Zenón quedó fascinado por la idea del infinito. Acertadamente presintió que la ciencia no podía aferrarse a la realidad, a menos que tomara en consideración las formas en que el infinito se presenta en cualquier parte de la naturaleza. Planteó una pregunta sencilla referente al movimiento y enunció una paradoja célebre en la actualidad. ¿Cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de posiciones en un tiempo finito? Si el ligero Aquiles hiciera una carrera con una tortuga y a la tortuga se le da una ventaja inicial de un palmo, ¿cómo podría Aquiles, a través de la rigurosa lógica griega, alcanzarla jamás? Cuando Aquiles ha avanzado un palmo, la tortuga también ha caminado digamos una décima de palmo. Y cuando Aquiles ha recorrido tal décima parte, la tortuga ya está a una distancia mayor.
Estas molestas objeciones a la lógica de la división del círculo en un gran número de partes fueron expuestas - probablemente con júbilo - por la escuela eleática de filósofos, una escuela que se originó en Elea, próxima a Crotona, y a los pitagóricos. Las matemáticas no fueron un simple pasatiempo para los griegos; sus problemas fueron discutidos abiertamente. Lo que visto retrospectivamente parece una ininterrumpida marcha de progreso hacia un mayor conocimiento, fue una guerra intelectual parecida a una discusión de taberna. Las armas eran argumentos sofisticados. Su resultado final fue el triunfo de la demostración.
Los eleáticos estaban profundamente interesados en la comprensión científica -no tan sólo de los triángulos y de los círculos, sino de todo el cosmos. Su mayor representante fue Zenón, maestro en obtener descubrimientos que provocaran la perplejidad, esto es, la paradoja - una proposición que, aunque lógicamente válida, se escapa a los ojos del sentido común. Zenón quedó fascinado por la idea del infinito. Acertadamente presintió que la ciencia no podía aferrarse a la realidad, a menos que tomara en consideración las formas en que el infinito se presenta en cualquier parte de la naturaleza. Planteó una pregunta sencilla referente al movimiento y enunció una paradoja célebre en la actualidad. ¿Cómo es posible para un punto en movimiento pasar a través de un número infinito de posiciones en un tiempo finito? Si el ligero Aquiles hiciera una carrera con una tortuga y a la tortuga se le da una ventaja inicial de un palmo, ¿cómo podría Aquiles, a través de la rigurosa lógica griega, alcanzarla jamás? Cuando Aquiles ha avanzado un palmo, la tortuga también ha caminado digamos una décima de palmo. Y cuando Aquiles ha recorrido tal décima parte, la tortuga ya está a una distancia mayor.
Todo el mundo sabe, partiendo de la experiencia, que Aquiles puede alcanzar a la tortuga, pero ¿cómo puede probarlo por medio de etapas lógicas que no requieran una gran cantidad de páginas para demostrarlo? Los matemáticos modernos tienen formas de eludir el problema y los griegos también las tenían. Uno de los primeros sabios de la geometría, probablemente Eudoxo, facilitó la demostración en controversia acerca del área de un círculo mediante dos líneas subsidiarias de razonamiento, con las que demostró que si el área de un círculo es bien mayor o menor que la mitad de su circunferencia por el radio, se implicaban contradicciones - contradicciones que reducen ambas alternativas a absurdas. (Por lo tanto, una vez más, reductio ad absurdum).
Por la misma época que Eudoxo se estaba apuntando este tanto sobre los eleáticos y el infinito, el antiguo mundo griego estaba siendo absorbido por las casi infinitas conquistas de Alejandro Magno. Cuando el estruendo de las armas se había apaciguado, surgió una nueva capital de Grecia en Alejandría, Egipto. Y allí, alrededor del año 300 antes de Cristo, el más famoso de todos los maestros de la geometría, Euclides, se dispuso a recoger los teoremas de sus predecesores y a organizarlos en un todo unitario.
Euclides no fue propiamente un gran innovador, pero fue un soberbio organizador de los resultados matemáticos alcanzados por Tales, Eudoxo y otros sabios de la edad de oro de la geometría griega, tales como Demócrito, Hipócrates de Quíos y Arquitas. Euclides tuvo la gran habilidad de volver a escribir sus demostraciones en términos sucintos y claros. Simplificados de esta forma, están contenidos en su obra maestra, los Elementos, uno de aquellos libros únicos, como la Biblia, que parece refundir los mejores esfuerzos de las mentes creadoras en un todo unitario e inspirado. Es una obra de una lucidez y estilo tan terminantes que algunos eruditos la consideran la colección más coherente de pensamientos rigurosamente razonados que nunca haya establecido el hombre. En la antigüedad se difundieron extensamente en forma de manuscrito. Desde la invención de la imprenta, miles de ediciones se han publicado. Hasta hace un siglo era el libro de texto de geometría de bachillerato más usado.
Los Elementos contienen trece libros o capítulos, que describen y demuestran una gran parte de todo lo que sabe la raza humana, incluso en la actualidad, acerca de las líneas, los puntos, los círculos y las formas sólidas elementales. Toda esta información la dedujo Euclides, a través de la más aguda lógica, a partir de 10 simples premisas - 5 postulados y 5 axiomas (expuestos a continuación) -. A partir de estas premisas, Euclides construyó, no tan sólo la geometría que se enseña en las escuelas normalmente hoy en día, sino también una gran cantidad de matemáticas de otro tipo. Sus capítulos en torno a las longitudes lineales y a las áreas dan abundantes métodos geométricos para resolver muchos problemas que hoy en día se consideran como álgebra. Su tratamiento del atormentado concepto de Zenón en torno al infinito y de la técnica para sumar áreas comprendidas en arcos de círculo, implican ideas que ahora se estudian en el cálculo infinitesimal. Su discusión de los números primos, números que no pueden ser divididos exactamente, a excepción de por sí mismos, es ahora un estudio clásico de la «teoría de números».
Por la misma época que Eudoxo se estaba apuntando este tanto sobre los eleáticos y el infinito, el antiguo mundo griego estaba siendo absorbido por las casi infinitas conquistas de Alejandro Magno. Cuando el estruendo de las armas se había apaciguado, surgió una nueva capital de Grecia en Alejandría, Egipto. Y allí, alrededor del año 300 antes de Cristo, el más famoso de todos los maestros de la geometría, Euclides, se dispuso a recoger los teoremas de sus predecesores y a organizarlos en un todo unitario.
Euclides no fue propiamente un gran innovador, pero fue un soberbio organizador de los resultados matemáticos alcanzados por Tales, Eudoxo y otros sabios de la edad de oro de la geometría griega, tales como Demócrito, Hipócrates de Quíos y Arquitas. Euclides tuvo la gran habilidad de volver a escribir sus demostraciones en términos sucintos y claros. Simplificados de esta forma, están contenidos en su obra maestra, los Elementos, uno de aquellos libros únicos, como la Biblia, que parece refundir los mejores esfuerzos de las mentes creadoras en un todo unitario e inspirado. Es una obra de una lucidez y estilo tan terminantes que algunos eruditos la consideran la colección más coherente de pensamientos rigurosamente razonados que nunca haya establecido el hombre. En la antigüedad se difundieron extensamente en forma de manuscrito. Desde la invención de la imprenta, miles de ediciones se han publicado. Hasta hace un siglo era el libro de texto de geometría de bachillerato más usado.
Los Elementos contienen trece libros o capítulos, que describen y demuestran una gran parte de todo lo que sabe la raza humana, incluso en la actualidad, acerca de las líneas, los puntos, los círculos y las formas sólidas elementales. Toda esta información la dedujo Euclides, a través de la más aguda lógica, a partir de 10 simples premisas - 5 postulados y 5 axiomas (expuestos a continuación) -. A partir de estas premisas, Euclides construyó, no tan sólo la geometría que se enseña en las escuelas normalmente hoy en día, sino también una gran cantidad de matemáticas de otro tipo. Sus capítulos en torno a las longitudes lineales y a las áreas dan abundantes métodos geométricos para resolver muchos problemas que hoy en día se consideran como álgebra. Su tratamiento del atormentado concepto de Zenón en torno al infinito y de la técnica para sumar áreas comprendidas en arcos de círculo, implican ideas que ahora se estudian en el cálculo infinitesimal. Su discusión de los números primos, números que no pueden ser divididos exactamente, a excepción de por sí mismos, es ahora un estudio clásico de la «teoría de números».
Después de Euclides, los matemáticos sólo podían ascender -fuera de las regiones normalmente consideradas como geometría griega - a la atmósfera rarificada de lo que se conoce popularmente por matemáticas superiores. Inspirados por los Elementos, los dos matemáticos más eminentes del siglo siguiente iban a lograr tantos resultados nuevos y a suministrar tantas fórmulas útiles como reunieron todos los griegos pre-euclidianos juntos, uno fue Apolonio, cuyos descubrimientos relativos a las denominadas secciones cónicas, contribuyeron posteriormente en forma muy importante al desarrollo de la astronomía, de la ciencia militar de la balística y -finalmente de los modernos cohetes dirigidos. El otro fue Arquímedes, cuya brillantez en las matemáticas iba unida a un talento para la mecánica que le convirtió en el padre de la ingeniería práctica.
7. Los dones y las limitaciones de Platón
En la medida posible, tanto Apolonio como Arquímedes efectuaron sus investigaciones matemáticas superiores dentro de la disciplina rigurosa impuesta en la geometría por el renombrado filósofo ateniense Platón. Debido a pensar en términos del ideal puro, el abstracto total, Platón se dedicó a la geometría; le gustaba la forma en que podía abstraer de una rueda de carro el concepto de un círculo inmune al tiempo y al cambio. Debido a su prestigio, pudo transmitir su entusiasmo a sus conciudadanos, dando, por lo tanto, un elevado puesto dentro de la consideración pública a los que practicaban la geometría. Pero al mismo tiempo que les confería este carácter distintivo, también les puso una difícil restricción de trabajo. Enjuiciando con espíritu crítico, al modo filosófico, los nuevos descubrimientos mecánicos y las matemáticas aplicadas, Platón insistió en que las demostraciones geométricas se lograran sin ningún otro auxilio que una regla y un compás. Este requisito, que no se originó en Platón, pero que se estimuló a partir de él, fue exigido a todos los problemas geométricos elementales y, cuando fue posible, a problemas más difíciles.
(Debido tanto a su abstracta concepción de las matemáticas como a la limitación de la regla y el compás, algunos matemáticos todavía consideran a Platón con cierto recelo. El gran lógico inglés del siglo XIX Augustus De Morgan notó cáusticamente que las palabras que se supone Platón inscribió en las puertas de su academia - «Que no entre ningún ignorante de la geometría» - no reflejaban precisamente que la geometría se cultivaba de puertas adentro, al igual que un aviso que dice no olvidarse de traer bocadillos... no constituiría la promesa de una buena comida.)
7. Los dones y las limitaciones de Platón
En la medida posible, tanto Apolonio como Arquímedes efectuaron sus investigaciones matemáticas superiores dentro de la disciplina rigurosa impuesta en la geometría por el renombrado filósofo ateniense Platón. Debido a pensar en términos del ideal puro, el abstracto total, Platón se dedicó a la geometría; le gustaba la forma en que podía abstraer de una rueda de carro el concepto de un círculo inmune al tiempo y al cambio. Debido a su prestigio, pudo transmitir su entusiasmo a sus conciudadanos, dando, por lo tanto, un elevado puesto dentro de la consideración pública a los que practicaban la geometría. Pero al mismo tiempo que les confería este carácter distintivo, también les puso una difícil restricción de trabajo. Enjuiciando con espíritu crítico, al modo filosófico, los nuevos descubrimientos mecánicos y las matemáticas aplicadas, Platón insistió en que las demostraciones geométricas se lograran sin ningún otro auxilio que una regla y un compás. Este requisito, que no se originó en Platón, pero que se estimuló a partir de él, fue exigido a todos los problemas geométricos elementales y, cuando fue posible, a problemas más difíciles.
(Debido tanto a su abstracta concepción de las matemáticas como a la limitación de la regla y el compás, algunos matemáticos todavía consideran a Platón con cierto recelo. El gran lógico inglés del siglo XIX Augustus De Morgan notó cáusticamente que las palabras que se supone Platón inscribió en las puertas de su academia - «Que no entre ningún ignorante de la geometría» - no reflejaban precisamente que la geometría se cultivaba de puertas adentro, al igual que un aviso que dice no olvidarse de traer bocadillos... no constituiría la promesa de una buena comida.)
Apolonio hizo su contribución a la historia de las matemáticas al investigar todas las peculiaridades más importantes de una serie de graciosas curvas que describió en un libro llamado Cónicas. Las denominó cónicas debido a que las vio como secciones realizadas por una superficie llana o plana cuando intercepta la superficie de un cono. Depende de cómo se corte el cono para que las secciones resultantes sean círculos, elipses, parábolas o hipérbolas. (Algunas de éstas se muestran arriba).
Después investigó las propiedades de cada sección cónica y mostró de qué forma están interrelacionadas. Aunque en las matemáticas puras todas estas ingeniosas creaciones no requieren, ninguna justificación, han pasado, no obstante, a quedar doblemente justificadas por el hecho de que las secciones cónicas son los caminos que siguen los proyectiles, los satélites, las lunas o las tierras bajo la influencia de la gravedad.
Amigo y rival de Apolonio fue Arquímedes, quien fue un poco más brillante y mucho más creador, tanto que dentro de la profesión se le conceptúa, con Newton y Gauss, como uno de los tres grandes matemáticos de todos los tiempos. Todo lo que hizo Arquímedes parece tener un espíritu tan moderno en la actualidad como cuando lo creó. No obstante, creó todo lo que hizo dentro de los estrechos límites de la disciplina de Platón, sin ninguna abreviación algebraica para catalizar su lógica ni incluso un sistema de notación conveniente para escribir grandes números y realizar complicadas operaciones aritméticas
La mayoría de los griegos no tenían realmente ninguna forma sencilla de escribir grandes números. Arquímedes se enfrentó con esta gran desventaja en un tratado científico, el Contador de Arena, en el que se establecía un sistema de números basado en la miríada griega, o 10.000. Los números hasta una miríada de miríadas, o cien millones, los llamó «el primer orden de números». Los números hasta una miríada de miríadas multiplicados por sí mismos una miríada de miríadas - 100.000.000100.000.000, los denominó «números del primer período». Prosiguió hasta hacer que este número tan grande se multiplicara por sí mismo una miríada de miríadas de veces, llegando a una cantidad tan enorme que en una notación de un sistema con base 10 se escribiría por medio del número uno seguido de ochenta millones de miles de millones de ceros. Señaló que es un número completamente adecuado a cualquier finalidad.
8. El caso de las innumerables reses
Los números grandes, asustaban tan poco a la despejada mente de Arquímedes que, dice la leyenda, era capaz de incordiar a sus compañeros matemáticos con algunos de los más horrendos acertijos matemáticos jamás expuestos. «Si eres diligente y sabio, ¡Oh, extranjero!, calcula el número de reses del sol que, en cierta ocasión, pacían en los campos de Trinacria (Sicilia).» Por «reses del sol» Arquímedes quería decir aquéllas pertenecientes a Hyperión, el dios sol, y en una forma directa prosiguió describiendo el ganado y los distintos colores de las vacas y los toros que había allí. El problema pasó a tener dos posibles respuestas. O bien el número de reses era 5.916.837.175.686, o bien tan sólo pueden contarse con un número dígito de 206.545 cifras que nadie, ni siquiera Arquímedes, ha tenido jamás la longevidad suficiente para calcular.
Después investigó las propiedades de cada sección cónica y mostró de qué forma están interrelacionadas. Aunque en las matemáticas puras todas estas ingeniosas creaciones no requieren, ninguna justificación, han pasado, no obstante, a quedar doblemente justificadas por el hecho de que las secciones cónicas son los caminos que siguen los proyectiles, los satélites, las lunas o las tierras bajo la influencia de la gravedad.
Amigo y rival de Apolonio fue Arquímedes, quien fue un poco más brillante y mucho más creador, tanto que dentro de la profesión se le conceptúa, con Newton y Gauss, como uno de los tres grandes matemáticos de todos los tiempos. Todo lo que hizo Arquímedes parece tener un espíritu tan moderno en la actualidad como cuando lo creó. No obstante, creó todo lo que hizo dentro de los estrechos límites de la disciplina de Platón, sin ninguna abreviación algebraica para catalizar su lógica ni incluso un sistema de notación conveniente para escribir grandes números y realizar complicadas operaciones aritméticas
La mayoría de los griegos no tenían realmente ninguna forma sencilla de escribir grandes números. Arquímedes se enfrentó con esta gran desventaja en un tratado científico, el Contador de Arena, en el que se establecía un sistema de números basado en la miríada griega, o 10.000. Los números hasta una miríada de miríadas, o cien millones, los llamó «el primer orden de números». Los números hasta una miríada de miríadas multiplicados por sí mismos una miríada de miríadas - 100.000.000100.000.000, los denominó «números del primer período». Prosiguió hasta hacer que este número tan grande se multiplicara por sí mismo una miríada de miríadas de veces, llegando a una cantidad tan enorme que en una notación de un sistema con base 10 se escribiría por medio del número uno seguido de ochenta millones de miles de millones de ceros. Señaló que es un número completamente adecuado a cualquier finalidad.
8. El caso de las innumerables reses
Los números grandes, asustaban tan poco a la despejada mente de Arquímedes que, dice la leyenda, era capaz de incordiar a sus compañeros matemáticos con algunos de los más horrendos acertijos matemáticos jamás expuestos. «Si eres diligente y sabio, ¡Oh, extranjero!, calcula el número de reses del sol que, en cierta ocasión, pacían en los campos de Trinacria (Sicilia).» Por «reses del sol» Arquímedes quería decir aquéllas pertenecientes a Hyperión, el dios sol, y en una forma directa prosiguió describiendo el ganado y los distintos colores de las vacas y los toros que había allí. El problema pasó a tener dos posibles respuestas. O bien el número de reses era 5.916.837.175.686, o bien tan sólo pueden contarse con un número dígito de 206.545 cifras que nadie, ni siquiera Arquímedes, ha tenido jamás la longevidad suficiente para calcular.
La realización de la cual Arquímedes estuvo más orgulloso, fue el descubrimiento de cómo calcular el volumen de una esfera. Averiguó que el volumen de una esfera es igual a dos terceras partes del volumen del cilindro circunscrito más pequeño. (A petición suya, el diagrama de la esfera y el cilindro que él elaboró fue esculpido en su tumba cuando murió en el año 212 a. de c.; el orador romano Cicerón, contó que hizo limpiar la hiedra que la cubría cuando hizo una peregrinación a la olvidada sepultura un siglo y medio después). Para demostrar que un cilindro tiene a su vez un volumen que excede en una mitad al volumen de su «esfera inscrita», Arquímedes tuvo que aplicar la misma técnica de los cortes infinitamente pequeños que los primitivos griegos habían utilizado para el área del círculo.
Después tenía que demostrar por el método de reductio ad absurdum que si más o menos de las dos terceras partes del cilindro circunscrito igualaba el volumen de la esfera, el resultado conduciría a una contradicción. Utilizó la misma técnica para demostrar qué áreas se incluían dentro de las curvas parabólicas y ciertas curvas en forma de espiral. La utilizó de nuevo para calcular el volumen que ocupa una sección cónica cuando gira alrededor de su eje.
Debido a esta tendencia práctica de su mente, Arquímedes era físico e ingeniero además de matemático. Los que no saben mucho de él, lo recuerdan como un profesor distraído que corría desnudo por las calles dula ciudad siciliana de Siracusa, donde vivió, gritando «Eureka, Eureka! », que quería decir «¡lo he hallado!». Lo que realmente había descubierto era un hecho físico, una ley básica de la ingeniería hidráulica. Cualquier persona que toma un baño se da cuenta de que un sólido sumergido en un líquido desaloja su propio volumen de aquel líquido. Pero Arquímedes descubrió que un sólido que flota en un líquido desaloja su propio peso de aquel líquido y, en general, que un sólido sumergido en un líquido pierde exactamente tanto peso como el del líquido que desplaza.
La forma en que Arquímedes pasó a ocuparse de este problema fue explicada posteriormente por el arquitecto romano Vitruvio. El rey Hierón de Siracusa había facilitado a uno de sus joyeros de la corte oro para hacer una corona para él y sospechó que se había sustituido por plata parte del oro. Encargó a su amigo Arquímedes que hiciera una investigación. Arquímedes estaba ponderando el problema un día, flotando en su baño -con su propio peso en agua derramada por los bordes de la tina- cuando por primera vez se dio cuenta de su ley hidráulica. De este descubrimiento y utilizando algo de álgebra geométrica pudo averiguar cuánta plata había utilizado el joyero en sustitución de oro. Posiblemente demostró el fraude pesando cantidades de plata y oro iguales al peso de la corona, primero en el aire y después en el agua. Cualquiera que fuera el final del caso, Hierón estuvo altamente satisfecho y el joyero de la corte profundamente disgustado -o algo peor.
El trabajo de investigación de Arquímedes en torno a las coronas y a la hidráulica fue una reducida fracción de su contribución a la ingeniería práctica. Su famosa declaración, «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra», derivó no de la arrogancia sino de la emoción de haber encontrado una demostración de las leyes matemáticas de la palanca. También descubrió las leyes de las poleas y métodos para determinar el centro de gravedad de un objeto. La habilidad para aplicar sus descubrimientos puede juzgarse a partir del hecho -señalado por Plutarco que retuvo una flota invasora romana acorralada en el puerto de Siracusa durante tres años con devastadoras catapultas y puntiagudas zarpas de hierro ingeniadas por él, para destruir los barcos. El general romano Marcelo, después de su primera repulsa, llamó a Arquímedes «este Briareo geométrico (un monstruo mitológico de cien brazos) que utiliza nuestros barcos como tazas para vaciar el agua del mar».
9. El final de una bacanal
Desgraciadamente para los de Siracusa, Marcelo finalmente superó con táctica maniobrera a las versiones de las últimas armas de Arquímedes al subir a escondidas por la noche a una torre mal vigilada de la muralla de la ciudad, durante una de sus periódicas bacanales religiosas. Al despuntar el día los invasores se presentaron en la ciudad extendiendo la muerte y el pillaje. Contrariamente a las órdenes específicas de Marcelo, un soldado romano, al encontrar a Arquímedes dibujando meditativamente figuras geométricas en el suelo de un patio, mató al anciano. Arquímedes tenía setenta y cinco años. Si hubiera sobrevivido es bastante concebible suponer que habría encendido la antorcha de la creatividad en uno o dos romanos. En lugar de ello, su muerte señaló el principio de un oscurecimiento intelectual que asolaría el mundo durante siglos, y que llevaría prematuramente a la tumba la prodigiosa creación mental griega, la Geometría.
Los romanos se apoderaron de las armas de guerra y de la ingeniería de Arquímedes, pero dejaron su manantial de matemáticas originales totalmente oculto. Durante la corrupción mental, espiritual y física del imperio romano en los siguientes siglos, algunos griegos distinguidos hicieron lo que pudieron para conservar la tradición de Arquímedes en la investigación creadora. Entre los últimos de ellos se encontraba la hermosa e inmensamente sabia, la matemática Hipatia, que conferenció en la Universidad de Alejandría alrededor del año 400 y que atrajo grandes masas de estudiantes. Desgraciadamente fue la última de los intelectuales paganos griegos y fue asesinada por un populacho sectario cristiano. Edward Gibbon describió su final en The Decline and Fall of the Roman Empire: «fue arrebatada de su carroza, le arrancaron sus vestidos y la arrastraron a la iglesia y allí su carne fue separada de los huesos con afiladas conchas de ostras y sus trémulos miembros lanzados a las llamas». Las matemáticas griegas habían exhalado su último suspiro. Tenían que pasar otros mil años para que su espíritu se encendiera de nuevo.
Después tenía que demostrar por el método de reductio ad absurdum que si más o menos de las dos terceras partes del cilindro circunscrito igualaba el volumen de la esfera, el resultado conduciría a una contradicción. Utilizó la misma técnica para demostrar qué áreas se incluían dentro de las curvas parabólicas y ciertas curvas en forma de espiral. La utilizó de nuevo para calcular el volumen que ocupa una sección cónica cuando gira alrededor de su eje.
Debido a esta tendencia práctica de su mente, Arquímedes era físico e ingeniero además de matemático. Los que no saben mucho de él, lo recuerdan como un profesor distraído que corría desnudo por las calles dula ciudad siciliana de Siracusa, donde vivió, gritando «Eureka, Eureka! », que quería decir «¡lo he hallado!». Lo que realmente había descubierto era un hecho físico, una ley básica de la ingeniería hidráulica. Cualquier persona que toma un baño se da cuenta de que un sólido sumergido en un líquido desaloja su propio volumen de aquel líquido. Pero Arquímedes descubrió que un sólido que flota en un líquido desaloja su propio peso de aquel líquido y, en general, que un sólido sumergido en un líquido pierde exactamente tanto peso como el del líquido que desplaza.
La forma en que Arquímedes pasó a ocuparse de este problema fue explicada posteriormente por el arquitecto romano Vitruvio. El rey Hierón de Siracusa había facilitado a uno de sus joyeros de la corte oro para hacer una corona para él y sospechó que se había sustituido por plata parte del oro. Encargó a su amigo Arquímedes que hiciera una investigación. Arquímedes estaba ponderando el problema un día, flotando en su baño -con su propio peso en agua derramada por los bordes de la tina- cuando por primera vez se dio cuenta de su ley hidráulica. De este descubrimiento y utilizando algo de álgebra geométrica pudo averiguar cuánta plata había utilizado el joyero en sustitución de oro. Posiblemente demostró el fraude pesando cantidades de plata y oro iguales al peso de la corona, primero en el aire y después en el agua. Cualquiera que fuera el final del caso, Hierón estuvo altamente satisfecho y el joyero de la corte profundamente disgustado -o algo peor.
El trabajo de investigación de Arquímedes en torno a las coronas y a la hidráulica fue una reducida fracción de su contribución a la ingeniería práctica. Su famosa declaración, «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra», derivó no de la arrogancia sino de la emoción de haber encontrado una demostración de las leyes matemáticas de la palanca. También descubrió las leyes de las poleas y métodos para determinar el centro de gravedad de un objeto. La habilidad para aplicar sus descubrimientos puede juzgarse a partir del hecho -señalado por Plutarco que retuvo una flota invasora romana acorralada en el puerto de Siracusa durante tres años con devastadoras catapultas y puntiagudas zarpas de hierro ingeniadas por él, para destruir los barcos. El general romano Marcelo, después de su primera repulsa, llamó a Arquímedes «este Briareo geométrico (un monstruo mitológico de cien brazos) que utiliza nuestros barcos como tazas para vaciar el agua del mar».
9. El final de una bacanal
Desgraciadamente para los de Siracusa, Marcelo finalmente superó con táctica maniobrera a las versiones de las últimas armas de Arquímedes al subir a escondidas por la noche a una torre mal vigilada de la muralla de la ciudad, durante una de sus periódicas bacanales religiosas. Al despuntar el día los invasores se presentaron en la ciudad extendiendo la muerte y el pillaje. Contrariamente a las órdenes específicas de Marcelo, un soldado romano, al encontrar a Arquímedes dibujando meditativamente figuras geométricas en el suelo de un patio, mató al anciano. Arquímedes tenía setenta y cinco años. Si hubiera sobrevivido es bastante concebible suponer que habría encendido la antorcha de la creatividad en uno o dos romanos. En lugar de ello, su muerte señaló el principio de un oscurecimiento intelectual que asolaría el mundo durante siglos, y que llevaría prematuramente a la tumba la prodigiosa creación mental griega, la Geometría.
Los romanos se apoderaron de las armas de guerra y de la ingeniería de Arquímedes, pero dejaron su manantial de matemáticas originales totalmente oculto. Durante la corrupción mental, espiritual y física del imperio romano en los siguientes siglos, algunos griegos distinguidos hicieron lo que pudieron para conservar la tradición de Arquímedes en la investigación creadora. Entre los últimos de ellos se encontraba la hermosa e inmensamente sabia, la matemática Hipatia, que conferenció en la Universidad de Alejandría alrededor del año 400 y que atrajo grandes masas de estudiantes. Desgraciadamente fue la última de los intelectuales paganos griegos y fue asesinada por un populacho sectario cristiano. Edward Gibbon describió su final en The Decline and Fall of the Roman Empire: «fue arrebatada de su carroza, le arrancaron sus vestidos y la arrastraron a la iglesia y allí su carne fue separada de los huesos con afiladas conchas de ostras y sus trémulos miembros lanzados a las llamas». Las matemáticas griegas habían exhalado su último suspiro. Tenían que pasar otros mil años para que su espíritu se encendiera de nuevo.
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