Surgieron nuevas legiones de números; los números antiguos con los que contamos se incluyeron como un solo grado. Se establecieron nuevas relaciones funcionales, éstas incluían las funciones algebraicas ordinarias, las funciones trigonométricas y logarítmicas como simples subproductos. Y las geometrías griega y cartesiana se transformaron en casos especiales de las geometrías generalizadas de n dimensiones, geometrías de superficies y formas que comprendían más dimensiones de las habituales: altura, anchura, y profundidad y que, por lo tanto, eran imposibles de representar. El álgebra clásica se convirtió en una de entre las muchas álgebras superiores, álgebras en las que se reemplazaban párrafos enteros de símbolos tradicionales por caracteres individuales manipulados según extrañas leyes, por ejemplo, que a x b no tenía necesariamente que ser igual a b x a.
Al aprender todas estas curiosidades, cualquier persona sensata puede tener la sensación de que sus peores sospechas acerca de lo confusas que son las matemáticas se han confirmado. Pero en las matemáticas las proposiciones más amplias pueden ser las más útiles. Al matemático actual se le pide que solucione una enorme variedad de problemas. Cuanto más comprensivas sean sus clasificaciones, mayor es la posibilidad de que extraiga de su sombrero una ecuación adecuada para determinado trabajo.
Los matemáticos escogieron el camino de la generalidad por necesidad más bien que por elección propia. En todo el siglo XVIII habían estado ocupados explorando las regiones prácticas del cambio y la posibilidad siguiendo las directrices de los grandes innovadores del siglo XVII tales como Newton y Fermat. El prolífico suizo Leonhard Euler, creó multitud de nuevas aplicaciones para el cálculo en lo que se refiere a curvas y superficies. Los académicos franceses Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon de Laplace pudieron elaborar, a través del cálculo, teorías comprensivas de la mecánica ordinaria y celeste, levantando con ello un vigoroso marco para la ingeniería y la astronomía modernas.
Hacia principios del siglo XIX los matemáticos averiguaron que el uso de las abstracciones que empleaban empezaba a ser insuficiente. Se presentaban problemas que desafiaban el viejo tratamiento del sentido común.
Euler, por ejemplo, había definido una relación funcional entre dos variables en el sentido de «un tipo de curva que se describe al mover libremente la mano», con lo que quería decir simplemente una curva uniforme. ¿Pero la curva tenía que ser siempre uniforme, o podía aplicarse la palabra también a ciertas ecuaciones que representaban grupos de puntos discontinuos? ¿Las ecuaciones escritas en términos de más de tres variables podían imaginarse, tal vez, en términos de más de tres dimensiones, dimensiones más allá de las habituales de altura, anchura y profundidad? ¿Las expresiones indefinidamente largas, tales como x + x2 + x3. . ., lo que los matemáticos llaman «series infinitas», podían ser tratadas por medio de las reglas de la aritmética, como hasta entonces, o eran necesarios aplazamientos especiales para poder abarcar su infinidad?
Enfrentada con tales dificultades conceptuales, la mente empezó a titubear. Lagrange se desesperó tanto que abandonó las matemáticas durante un período de varios años, y, en una carta a su amigo y colega Jean Baptiste D'Alembert, en 1781, expresó la opinión de que las matemáticas estaban ahondando demasiado, con peligro de ser destruidas. D'Alembert, en cambio, no sosegó a sus alumnos, sino que les exhortó «Seguid adelante y la fe vendrá a vosotros».
En la misma época que el pesimismo se establecía en el campo matemático, Carl Friedrich Gauss, había empezado justamente a desarrollar su prodigioso talento para los números. En 1779, cuando aún no tenía tres años, el muchacho observó a su padre, que era capataz, cómo hacía las nóminas de los albañiles. El padre cometió un error y cuando repasó los números halló que su hijo estaba en lo cierto.
Gauss es tal vez el último genio que jamás convierta en disciplina unitaria el estudio de las matemáticas; durante su larga vida aparecieron en torno suyo más matemáticas nuevas, se estima, que en todos los siglos anteriores. Gauss encauzó el nuevo movimiento hacia la generalidad, al imponer a ésta la rigidez de sus concepciones, exigiendo un pensamiento absolutamente riguroso. En sus propias innovaciones, tanto analíticas como geométricas, preparó el terreno para la relatividad y la energía atómica del siglo XX. Debido a sus investigaciones en el campo de la electricidad se le ha honrado con la palabra «gauss», una unidad de magnetismo, y también con el término naval «degaussing», que significa contrarrestar el magnetismo de un barco como previsión contra minas. Lo que es más, él y su asociado, Wilhelm Weber, inventaron y construyeron un telégrafo que funcionaba y lo utilizaron como un sistema de intercomunicación en 1883, unos dos años antes que Samuel F. B. Morse.
Por cuenta propia, Gauss pensó en los rudimentos de la aritmética antes de que supiera hablar. A la edad de 10 años, cuando se pidió a su clase que sumaran todos los números de 1 a 100, instantáneamente escribió 5050 en su pizarra y lo entregó con una orgullosa declaración: «ahí está». Cuando los otros estudiantes entregaron sus pizarras después de un tiempo considerable y de un gran esfuerzo, nadie, a excepción de Gauss, tenía la respuesta correcta. Parece ser que Gauss había visto que cada uno de los pares de números, 1 y 100, 2 y 99, 3 y 98, 4 y 97, etc., y así hasta 50 y 51, dan un total de 101, y que, por lo tanto, el total de los pares debe ser 50 x 101.
2. Un Mozart de las matemáticas
A la edad de 14 años este Mozart matemático fue objeto de la consideración de Fernando, duque de Brünswick, quien a partir de entonces apoyó financieramente al muchacho en el bachillerato, en la Universidad y en las primeras etapas de su carrera. Utilizando al máximo su buena suerte, Gauss devoró los clásicos y las tablas logarítmicas con igual apetito, y llegó a dominar el griego, latín, francés, inglés y danés, así como la geometría, el álgebra y el cálculo. A la edad de 19 años empezó a llenar las páginas de sus apuntes con nuevas matemáticas, propias, nuevos teoremas en la abstrusa región de la teoría de los números, y esquemas radicales para generalizar los métodos de la geometría. Dejó muchas de sus creaciones medio desarrolladas y nunca se preocupó de publicarlas. Como resultado, el alcance total de sus exploraciones mentales no fue comprendido hasta que se publicaron sus papeles después de su muerte. Pero su influencia fue tal, que a otros matemáticos les irritaba la sensación de que cualquier cosa que hicieran él lo habría hecho anteriormente.
La sagacidad con que Gauss acaparaba sus tesoros se explica en parte por su pasión por la perfección. «Poco, pero selecto», era su lema, con lo que quería significar que no quería complicar las matemáticas con nada que diera lugar a un callejón sin salida o emplear su energía en algo que no fueran las ideas más prometedoras que corrían por su cabeza. Cuando la Academia de París ofreció un premio a quien pudiera demostrar un famoso teorema propuesto por Fermat, Gauss rehusó entrar en el concurso con brusquedad característica. «Confieso -escribió- que el último teorema de Fermat como proposición aislada tiene muy poco interés para mí, puesto que yo fácilmente pudiera hacer una multitud de tales proposiciones que nadie podría probar ni utilizar.» Si hubiera procedido de otro, la observación hubiera parecido jactancia. En Gauss fue simplemente una afirmación que causó la admiración y desesperación de sus colegas.
Se cree que Gauss retuvo algunas de sus ideas por miedo de que parecieran demasiado poco ortodoxas. Él no podía ver una razón a priori para que el espacio tuviera que trazarse, como si dijéramos, por medio de líneas rectas, la forma en que todo el mundo, desde Euclides, había supuesto que era. ¿Por qué, en verdad, el espacio no podía ser curvo? Después de todo, una línea medida en una sola dimensión, longitud, puede ser curva. Y una superficie medida en dos dimensiones, longitud y anchura, puede ser curva. ¿Por qué no podía ser curvo el espacio medido en las tres dimensiones: altura, anchura y profundidad? Era fácil tomar en consideración la posibilidad como una abstracción, pero era imposible visualizar el espacio resultante. Por lo tanto, Gauss se guardó su propio parecer e incluso puede que dudara acerca de la sensatez de la idea.
Gauss contribuyó a pavimentar el camino del álgebra abstracta superior por sus pensamientos en torno a una clase de números conocidos por «números complejos»: un número compuesto de un número ordinario más algún múltiplo de la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. Empezó a ocuparse por primera vez en estas extrañas creaciones de la mente humana en su tesis doctoral de 1799, en donde se demostró el teorema fundamental del álgebra, que toda ecuación tiene tantas soluciones como su grado, hecho que habían tratado de comprobar los matemáticos durante más de un siglo. Al demostrar el teorema, Gauss mostró que todas las soluciones de toda ecuación algebraica son, de hecho, números complejos o bien números tales como 7 + 4√ -1 o como 3 + 0√-1, que se reduce simplemente a 3. Los matemáticos habitualmente escriben la √-1 en dichos números por i y cualquier número complejo por a + bi.
Posteriormente, al desarrollar los números complejos, Gauss propuso una forma geométrica de representación que iba a resultar extremadamente provechosa. Los números ordinarios pueden considerarse todos como si estuvieran a lo largo de una sola línea recta, una corriente continua sin separaciones, lo que los matemáticos llaman una «continuidad». Pero a un número complejo típico, a + bino le corresponde ningún lugar en la línea de los números ordinarios. Gauss comprobó, no obstante, que podía considerarse como si identificara un punto en un plano bidimensional; que la a en este número podía considerarse como una distancia horizontal, y la b como una distancia vertical, y que, de hecho, la expresión total a + bi podría determinar la posición de un punto en un plano exactamente de la misma forma que x e y como par de coordenadas cartesianas determinan un punto en un gráfico. Cuando dos números ordinarios se multiplican, el resultado es un salto a lo largo de la línea recta. Cuando se multiplican dos números complejos, no obstante, el resultado es un espectacular movimiento en forma de trapecio dentro de un plano bidimensional.
El comportamiento excéntrico de los números complejos es importante debido a que concuerda perfectamente y, por lo tanto, sirve como traducción literal del comportamiento de muchas cantidades en la naturaleza, tales como fuerzas, velocidades o aceleraciones que actúan en direcciones definidas. Cuando se ejercen dos fuerzas de direcciones opuestas sobre el mismo punto, por ejemplo, su efecto neto es una tercera fuerza con una nueva dirección. Diagramáticamente, como se muestra en la figura, la fuerza y la dirección de cada una de las dos fuerzas puede ser representada como la longitud y la dirección de un segmento lineal. Cada uno de estos dos segmentos lineales, a su vez, puede ser representado por un número complejo, y los dos números complejos al sumarse conjuntamente representan, por lo tanto, la tercera fuerza que se origina.
Los segmentos lineales que simbolizan las fuerzas, las velocidades y cosas análogas se denominan «vectores» y constituyen un instrumento esencial para la física. El hecho que éstos y los números complejos se comporten de una forma matemática análoga hace posible analizar complicadas situaciones en las que un conjunto de fuerzas están actuando a la vez, en la brújula giroscópica de un barco, por ejemplo.
Después de haber cooperado en la fundación del análisis vectorial en dos dimensiones, Gauss prosiguió, alrededor de 1819, hasta inventar un tipo de números que servirían finalmente para representar las fuerzas, las velocidades y las aceleraciones que actúan en más de dos dimensiones. Estos son los «números hipercomplejos», expresiones tales como
A la edad de 14 años este Mozart matemático fue objeto de la consideración de Fernando, duque de Brünswick, quien a partir de entonces apoyó financieramente al muchacho en el bachillerato, en la Universidad y en las primeras etapas de su carrera. Utilizando al máximo su buena suerte, Gauss devoró los clásicos y las tablas logarítmicas con igual apetito, y llegó a dominar el griego, latín, francés, inglés y danés, así como la geometría, el álgebra y el cálculo. A la edad de 19 años empezó a llenar las páginas de sus apuntes con nuevas matemáticas, propias, nuevos teoremas en la abstrusa región de la teoría de los números, y esquemas radicales para generalizar los métodos de la geometría. Dejó muchas de sus creaciones medio desarrolladas y nunca se preocupó de publicarlas. Como resultado, el alcance total de sus exploraciones mentales no fue comprendido hasta que se publicaron sus papeles después de su muerte. Pero su influencia fue tal, que a otros matemáticos les irritaba la sensación de que cualquier cosa que hicieran él lo habría hecho anteriormente.
La sagacidad con que Gauss acaparaba sus tesoros se explica en parte por su pasión por la perfección. «Poco, pero selecto», era su lema, con lo que quería significar que no quería complicar las matemáticas con nada que diera lugar a un callejón sin salida o emplear su energía en algo que no fueran las ideas más prometedoras que corrían por su cabeza. Cuando la Academia de París ofreció un premio a quien pudiera demostrar un famoso teorema propuesto por Fermat, Gauss rehusó entrar en el concurso con brusquedad característica. «Confieso -escribió- que el último teorema de Fermat como proposición aislada tiene muy poco interés para mí, puesto que yo fácilmente pudiera hacer una multitud de tales proposiciones que nadie podría probar ni utilizar.» Si hubiera procedido de otro, la observación hubiera parecido jactancia. En Gauss fue simplemente una afirmación que causó la admiración y desesperación de sus colegas.
Se cree que Gauss retuvo algunas de sus ideas por miedo de que parecieran demasiado poco ortodoxas. Él no podía ver una razón a priori para que el espacio tuviera que trazarse, como si dijéramos, por medio de líneas rectas, la forma en que todo el mundo, desde Euclides, había supuesto que era. ¿Por qué, en verdad, el espacio no podía ser curvo? Después de todo, una línea medida en una sola dimensión, longitud, puede ser curva. Y una superficie medida en dos dimensiones, longitud y anchura, puede ser curva. ¿Por qué no podía ser curvo el espacio medido en las tres dimensiones: altura, anchura y profundidad? Era fácil tomar en consideración la posibilidad como una abstracción, pero era imposible visualizar el espacio resultante. Por lo tanto, Gauss se guardó su propio parecer e incluso puede que dudara acerca de la sensatez de la idea.
Gauss contribuyó a pavimentar el camino del álgebra abstracta superior por sus pensamientos en torno a una clase de números conocidos por «números complejos»: un número compuesto de un número ordinario más algún múltiplo de la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. Empezó a ocuparse por primera vez en estas extrañas creaciones de la mente humana en su tesis doctoral de 1799, en donde se demostró el teorema fundamental del álgebra, que toda ecuación tiene tantas soluciones como su grado, hecho que habían tratado de comprobar los matemáticos durante más de un siglo. Al demostrar el teorema, Gauss mostró que todas las soluciones de toda ecuación algebraica son, de hecho, números complejos o bien números tales como 7 + 4√ -1 o como 3 + 0√-1, que se reduce simplemente a 3. Los matemáticos habitualmente escriben la √-1 en dichos números por i y cualquier número complejo por a + bi.
Posteriormente, al desarrollar los números complejos, Gauss propuso una forma geométrica de representación que iba a resultar extremadamente provechosa. Los números ordinarios pueden considerarse todos como si estuvieran a lo largo de una sola línea recta, una corriente continua sin separaciones, lo que los matemáticos llaman una «continuidad». Pero a un número complejo típico, a + bino le corresponde ningún lugar en la línea de los números ordinarios. Gauss comprobó, no obstante, que podía considerarse como si identificara un punto en un plano bidimensional; que la a en este número podía considerarse como una distancia horizontal, y la b como una distancia vertical, y que, de hecho, la expresión total a + bi podría determinar la posición de un punto en un plano exactamente de la misma forma que x e y como par de coordenadas cartesianas determinan un punto en un gráfico. Cuando dos números ordinarios se multiplican, el resultado es un salto a lo largo de la línea recta. Cuando se multiplican dos números complejos, no obstante, el resultado es un espectacular movimiento en forma de trapecio dentro de un plano bidimensional.
El comportamiento excéntrico de los números complejos es importante debido a que concuerda perfectamente y, por lo tanto, sirve como traducción literal del comportamiento de muchas cantidades en la naturaleza, tales como fuerzas, velocidades o aceleraciones que actúan en direcciones definidas. Cuando se ejercen dos fuerzas de direcciones opuestas sobre el mismo punto, por ejemplo, su efecto neto es una tercera fuerza con una nueva dirección. Diagramáticamente, como se muestra en la figura, la fuerza y la dirección de cada una de las dos fuerzas puede ser representada como la longitud y la dirección de un segmento lineal. Cada uno de estos dos segmentos lineales, a su vez, puede ser representado por un número complejo, y los dos números complejos al sumarse conjuntamente representan, por lo tanto, la tercera fuerza que se origina.
Los segmentos lineales que simbolizan las fuerzas, las velocidades y cosas análogas se denominan «vectores» y constituyen un instrumento esencial para la física. El hecho que éstos y los números complejos se comporten de una forma matemática análoga hace posible analizar complicadas situaciones en las que un conjunto de fuerzas están actuando a la vez, en la brújula giroscópica de un barco, por ejemplo.
Después de haber cooperado en la fundación del análisis vectorial en dos dimensiones, Gauss prosiguió, alrededor de 1819, hasta inventar un tipo de números que servirían finalmente para representar las fuerzas, las velocidades y las aceleraciones que actúan en más de dos dimensiones. Estos son los «números hipercomplejos», expresiones tales como
a + bi + cj + dk
en las que cualquiera de las unidades i, j y k, cuando se elevan al cuadrado, dan lugar a menos uno. La cosa más sorprendente acerca de estos números hipercomplejos es que prescinden de una regla básica de la aritmética que se consideró previamente inviolable.
Al multiplicarse conjuntamente, dos números hipercomplejos pueden dar lugar a resultados distintos dependiendo del orden en que se tomen, el número hipercomplejo a multiplicado por el b no es siempre igual al número hipercomplejo b multiplicado por el a.
3. Lo exótico y lo herético
Alrededor del año 1840, Hermann Grassmann, un compatriota de Gauss, afrontó honradamente estas trascendentales implicaciones y elaboró un álgebra hipercompleja, un álgebra para la que inventó distintos procedimientos nuevos para la multiplicación y en la que los vectores son tratados con independencia del número de dimensiones. En las décadas que siguieron a la obra revolucionaria de Grassmann en el análisis vectorial, que todavía constituye un arduo terreno para la vanguardia matemática de la actualidad, se descubrieron otros tipos de números exóticos que desobedecían a otras sacrosantas leyes de la aritmética, la de, por ejemplo, (a x b) x c debe ser igual a a x (b x c). Poco después las distintas álgebras, cada una con sus propias reglas, símbolos y ecuaciones, fueron tan abundantes como las setas.
Antes de la época de Gauss, los matemáticos habían tratado i, la raíz cuadrada de menos uno, con un escrupuloso respeto y una cierta y sincera incredulidad. Una vez se hubieron aplicado los números complejos a las fuerzas y cosas parecidas, ise transformó en un auxiliar matemático. Los números complejos e hipercomplejos se incorporaron progresivamente a las ecuaciones del álgebra y del cálculo. Los matemáticos empezaron a hablar de «funciones de variables complejas» queriendo significar relaciones entre variables con valores de números complejos. Éstas se utilizan hoy día para escudriñar, a partir de determinadas y complicadas ecuaciones diferenciales, las respuestas a algunos problemas de la física.
A partir de la época en que Newton las utilizó por primera vez, las ecuaciones diferenciales han sido una gran fuente de quebraderos de cabeza matemáticos y de creación matemática. Nuevas ecuaciones que requieren nuevas soluciones están constantemente apareciendo en las investigaciones científicas. Surgen de muchas clases de problemas, pero una categoría ha sido especialmente significativa en el desarrollo del pensamiento relativo a los problemas cósmicos o atómicos. Estos son los denominados problemas de máximos y de mínimos, y derivan a partir de lo que pudiera describirse como una tendencia de la naturaleza a trabajar con la mayor sencillez posible o con el mínimo de esfuerzo posible. Un rayo de luz que llega al ojo desde un objeto visto en un espejo ha minimizado su trayectoria al incidir y alejarse del espejo formando ángulos iguales. Dos burbujas de jabón que van unidas se ajustan en forma tal que tengan la menor área posible consistente con su contenido. Como expresó un fisiólogo italiano del siglo XVIII, Giovanni Borelli : «La perpetua ley de la naturaleza es actuar con un mínimo de esfuerzo... evitar, en la medida que sea posible, los inconvenientes y las proliferaciones». La indolencia de la naturaleza o «principio del esfuerzo mínimo», como se le denomina, hace referencia tanto al equilibrio estático como al dinámico: el estado de calma sigue al bullicio o la gravedad.
Alrededor del año 1840, Hermann Grassmann, un compatriota de Gauss, afrontó honradamente estas trascendentales implicaciones y elaboró un álgebra hipercompleja, un álgebra para la que inventó distintos procedimientos nuevos para la multiplicación y en la que los vectores son tratados con independencia del número de dimensiones. En las décadas que siguieron a la obra revolucionaria de Grassmann en el análisis vectorial, que todavía constituye un arduo terreno para la vanguardia matemática de la actualidad, se descubrieron otros tipos de números exóticos que desobedecían a otras sacrosantas leyes de la aritmética, la de, por ejemplo, (a x b) x c debe ser igual a a x (b x c). Poco después las distintas álgebras, cada una con sus propias reglas, símbolos y ecuaciones, fueron tan abundantes como las setas.
Antes de la época de Gauss, los matemáticos habían tratado i, la raíz cuadrada de menos uno, con un escrupuloso respeto y una cierta y sincera incredulidad. Una vez se hubieron aplicado los números complejos a las fuerzas y cosas parecidas, ise transformó en un auxiliar matemático. Los números complejos e hipercomplejos se incorporaron progresivamente a las ecuaciones del álgebra y del cálculo. Los matemáticos empezaron a hablar de «funciones de variables complejas» queriendo significar relaciones entre variables con valores de números complejos. Éstas se utilizan hoy día para escudriñar, a partir de determinadas y complicadas ecuaciones diferenciales, las respuestas a algunos problemas de la física.
A partir de la época en que Newton las utilizó por primera vez, las ecuaciones diferenciales han sido una gran fuente de quebraderos de cabeza matemáticos y de creación matemática. Nuevas ecuaciones que requieren nuevas soluciones están constantemente apareciendo en las investigaciones científicas. Surgen de muchas clases de problemas, pero una categoría ha sido especialmente significativa en el desarrollo del pensamiento relativo a los problemas cósmicos o atómicos. Estos son los denominados problemas de máximos y de mínimos, y derivan a partir de lo que pudiera describirse como una tendencia de la naturaleza a trabajar con la mayor sencillez posible o con el mínimo de esfuerzo posible. Un rayo de luz que llega al ojo desde un objeto visto en un espejo ha minimizado su trayectoria al incidir y alejarse del espejo formando ángulos iguales. Dos burbujas de jabón que van unidas se ajustan en forma tal que tengan la menor área posible consistente con su contenido. Como expresó un fisiólogo italiano del siglo XVIII, Giovanni Borelli : «La perpetua ley de la naturaleza es actuar con un mínimo de esfuerzo... evitar, en la medida que sea posible, los inconvenientes y las proliferaciones». La indolencia de la naturaleza o «principio del esfuerzo mínimo», como se le denomina, hace referencia tanto al equilibrio estático como al dinámico: el estado de calma sigue al bullicio o la gravedad.
El cálculo se refiere a todos los problemas de equilibrio, y a los de maximizar y minimizar a través de la misma técnica. Considérese una fuente de ensalada, por ejemplo. El punto más profundo de la fuente es el punto de altitud mínima o de máxima profundidad. Éste es también la posición de equilibrio, el punto de energía mínima al que tenderá finalmente una bola lanzada en la fuente cuando deje de dar vueltas arriba, abajo y alrededor. En este punto los lados de la fuente dejan de tener pendiente: la tasa de variación de la altitud es cero.
Al hacer las tasas de variación igual a cero, los matemáticos tratan de hallar las trayectorias mínimas o máximas que utiliza la naturaleza para alcanzar sus fines. Las ecuaciones diferenciales que resultan son las ecuaciones más importantes de la ciencia práctica. Al integrarse se transforman en fórmulas analíticas ordinarias revelando los caracteres que se encuentran detrás de la máscara del cambio, variables tales como la posición, la temperatura, el peso o la carga eléctrica.
En las manos de un ingeniero, el principio de maximizar y minimizar a través de las ecuaciones diferenciales puede aplicarse a situaciones específicas incluso antes de que ocurran. Al diseñar un puente, por ejemplo, puede imaginarse el puente ya construido y después buscar el estado de equilibrio que alcanzará cuando los vientos soplen a la velocidad de 300 kilómetros. Si el equivalente matemático de «supóngase que la tasa de variación es igual a cero» resulta ser una ecuación sin solución, significa que el puente no encontrará ningún punto de apoyo sino que se romperá ante la presión del viento. Después de poner más vigas y cables en el puente el ingeniero puede probar de nuevo, experimentando mentalmente, con el viento y el acero a través de la maravillosa agencia de las ecuaciones diferenciales.
Al hacer las tasas de variación igual a cero, los matemáticos tratan de hallar las trayectorias mínimas o máximas que utiliza la naturaleza para alcanzar sus fines. Las ecuaciones diferenciales que resultan son las ecuaciones más importantes de la ciencia práctica. Al integrarse se transforman en fórmulas analíticas ordinarias revelando los caracteres que se encuentran detrás de la máscara del cambio, variables tales como la posición, la temperatura, el peso o la carga eléctrica.
En las manos de un ingeniero, el principio de maximizar y minimizar a través de las ecuaciones diferenciales puede aplicarse a situaciones específicas incluso antes de que ocurran. Al diseñar un puente, por ejemplo, puede imaginarse el puente ya construido y después buscar el estado de equilibrio que alcanzará cuando los vientos soplen a la velocidad de 300 kilómetros. Si el equivalente matemático de «supóngase que la tasa de variación es igual a cero» resulta ser una ecuación sin solución, significa que el puente no encontrará ningún punto de apoyo sino que se romperá ante la presión del viento. Después de poner más vigas y cables en el puente el ingeniero puede probar de nuevo, experimentando mentalmente, con el viento y el acero a través de la maravillosa agencia de las ecuaciones diferenciales.
Nadie pregonó o practicó el ideal de ser versátil y general en las matemáticas de forma más persuasiva que Gauss. Primero se hizo famoso, no obstante, por medio de un hecho de computación puramente práctico. En 1801 el astrónomo italiano Joseph Piazzi accidentalmente vio el primero de los planetas menores o asteroides. Conocido en la actualidad por Ceres, este «conjunto de cosas sucias», como Gauss lo denominó, rápidamente se evadió de su descubridor y desapareció en las brillantes secciones del cielo cerca del sol. El descubrimiento del supuesto nuevo planeta había causado agitación en casi toda Europa. El haberlo «perdido» tan pronto sólo contribuyó a la emoción. Los desdichados astrónomos se enfrentaron con la gigantesca tarea de calcular sus posiciones a partir de unos pocos puntos de referencia. Los cálculos parecían enormemente difíciles para todo el mundo, a excepción de Gauss. Sumergiéndose en las tablas logarítmicas que había memorizado, apareció unas pocas semanas después con una predicción teórica de la órbita completa de Ceres. Cuando apareció el pequeño planeta por el otro lado del sol, los astrónomos lo encontraron cuando y donde les había dicho Gauss.
Después de este triunfo, las sociedades cultas cubrieron de honores a Gauss. En 1807 aceptó la dirección del observatorio en su propia alma mater, la Universidad de Göttingen, Alemania. Allí presidió la comunidad matemática de Europa hasta su muerte unos cincuenta años después. Mientras tanto, no obstante, no publicó jamás nada acerca de una extraña idea geométrica que le había fascinado desde su juventud precoz. Ésta e a un pensamiento afín al concepto de un espacio curvo. Gauss creía que las nuevas formas de geometría bidimensional podían desarrollarse a partir de un extraño axioma nuevo, el de que por un punto exterior a una línea dada se puede trazar más de una línea paralela a dicha línea. Dicho axioma iba totalmente en contra de Euclides y del sentido común, a la proposición que, por un punto exterior a una recta una y tan sólo una línea, puede trazarse paralela a aquélla. No obstante, en sus últimos años Gauss vio aplicar su idea de las reglas no-euclidianas del paralelismo a sectores del espacio curvo.
Mientras que Gauss anticipó el cataclismo de la geometría, otros lo llevaron a cabo. En 1832 recibió una carta de un viejo amigo de colegio, Farkas Bolyai, que quería la opinión de Gauss sobre las ideas poco ortodoxas de su hijo Janos. Al abandonar el postulado de Euclides relativo al paralelismo, Janos había construido un tipo de geometría no-euclidiana que denominamos en la actualidad «hiperbólica», una geometría que puede utilizarse para describir las propiedades de las figuras en una superficie en forma de trompeta, en oposición a la superficie plana de Euclides.
A la pregunta del señor Bolyai, Gauss contestó que el joven Janos tenía una excelente idea, pero, por haberla ponderado durante muchos años, no podía elogiarla sin vanagloriarse.
Después de este triunfo, las sociedades cultas cubrieron de honores a Gauss. En 1807 aceptó la dirección del observatorio en su propia alma mater, la Universidad de Göttingen, Alemania. Allí presidió la comunidad matemática de Europa hasta su muerte unos cincuenta años después. Mientras tanto, no obstante, no publicó jamás nada acerca de una extraña idea geométrica que le había fascinado desde su juventud precoz. Ésta e a un pensamiento afín al concepto de un espacio curvo. Gauss creía que las nuevas formas de geometría bidimensional podían desarrollarse a partir de un extraño axioma nuevo, el de que por un punto exterior a una línea dada se puede trazar más de una línea paralela a dicha línea. Dicho axioma iba totalmente en contra de Euclides y del sentido común, a la proposición que, por un punto exterior a una recta una y tan sólo una línea, puede trazarse paralela a aquélla. No obstante, en sus últimos años Gauss vio aplicar su idea de las reglas no-euclidianas del paralelismo a sectores del espacio curvo.
Mientras que Gauss anticipó el cataclismo de la geometría, otros lo llevaron a cabo. En 1832 recibió una carta de un viejo amigo de colegio, Farkas Bolyai, que quería la opinión de Gauss sobre las ideas poco ortodoxas de su hijo Janos. Al abandonar el postulado de Euclides relativo al paralelismo, Janos había construido un tipo de geometría no-euclidiana que denominamos en la actualidad «hiperbólica», una geometría que puede utilizarse para describir las propiedades de las figuras en una superficie en forma de trompeta, en oposición a la superficie plana de Euclides.
A la pregunta del señor Bolyai, Gauss contestó que el joven Janos tenía una excelente idea, pero, por haberla ponderado durante muchos años, no podía elogiarla sin vanagloriarse.
Janos Bolyai se descorazonó comprensiblemente ante esta respuesta y, cuando se enteró inmediatamente después que el matemático ruso Nikolai Lobachevsky había tenido también la idea de la geometría no-euclidiana, abandonó las matemáticas.
4. Dimensiones de la cuarta a la enésima
El siguiente joven innovador no-euclidiano que llegó hasta Gauss lo pasó mucho mejor. Éste fue Bernhard Riemann, quien estudió bajo la dirección de Gauss en Góttingen. Cuando estuvo a punto de dar su conferencia de iniciación como profesor, sometió, según la tradición, tres posibles temas. En el caso especial de Riemann, Gauss pasó por alto los dos primeros y pidió que Riemann conferenciara sobre su tercer tema. Este tema era nuevo, repleto de controversias y de peligros y sin euclidianismos. Pero después de un trabajo intensivo Riemann dio una conferencia en la facultad de Filosofía de Góttingen en la que sin utilizar ni una sola figura o fórmula, propugnó un concepto radicalmente nuevo de la estructura del espacio geométrico. Probablemente nadie lo comprendió, pero, para Gauss, Riemann iba encaminado a los mundos de la cuarta, quinta, sexta y enésima dimensiones.
La geometría de Riemann de muchas dimensiones, así como es difícil de apreciar en términos visuales, es bastante fácil de concebir cómo una posibilidad abstracta: como una simple progresión a partir de una línea en el espacio unitario de la longitud, a un plano en el espacio «bidimensional» de anchura y longitud, a un sólido en el espacio «tridimensional» de altura, anchura y profundidad, y de aquí a espacios de más dimensiones, por ejemplo, de altura, anchura, profundidad y tiempo.
Para poner su idea multidimensional en órbita, Riemann, apoyándose en parte en conceptos desarrollados por Gauss, generalizó las propiedades de las curvas y superficies de forma tal que pudieron aplicarse a los espacios. Puede obtenerse una apreciación del noble vuelo mental de Riemann a partir de un solo ejemplo detallado referente a la muy importante propiedad geométrica de la «curvatura». La curvatura de una curva es la proporción en que curva. Una medida de esta proporción es la medida del círculo oscilador en un punto. Si el círculo que más se acerca a la curva en este punto es muy pequeño, entonces la curva se cierra poco a poco y tiene una pequeña curvatura.
La curvatura de una superficie se define casi de la misma forma que la curvatura de una curva. En cualquier punto de una superficie la curvatura no tiene por qué ser la misma en todas direcciones. Una montaña, por ejemplo, tiende a disminuir su pendiente en proporciones distintas. La cúspide, no obstante, puede interpretarse como el punto de intersección de un número infinito de curvas que ascienden por un lado y descienden por el otro. En la cúspide una de estas curvas tendrá una curvatura superior que las demás y otra tendrá una curvatura inferior a las otras. Gauss había averiguado que la curvatura en un punto cualquiera de la superficie puede definirse útilmente como el producto de las curvaturas mayor y menor de todas las líneas que constituyen la superficie en aquel punto. Este producto se llama en la actualidad «la curvatura gaussiana».
Si un punto en una superficie está situado en el equivalente a un puerto de montaña en donde el terreno, hacia el este y oeste se inclina hacia arriba, y el terreno al norte y al sur se inclina hacia abajo, entonces el mínimo de curvatura hacia abajo es una curvatura hacia arriba, en otras palabras, una curvatura negativa hacia abajo. Por la definición de Gauss, la superficie de curvatura en un punto del puerto debe ser el producto de una negativa y una positiva - por lo tanto negativa -. Un ejemplo de una superficie con curvatura negativa es la silla de montar del Oeste de los Estados Unidos. Una superficie de curvatura positiva es una que siempre da vueltas para encontrarse a sí misma, como la cáscara de un huevo.
El siguiente joven innovador no-euclidiano que llegó hasta Gauss lo pasó mucho mejor. Éste fue Bernhard Riemann, quien estudió bajo la dirección de Gauss en Góttingen. Cuando estuvo a punto de dar su conferencia de iniciación como profesor, sometió, según la tradición, tres posibles temas. En el caso especial de Riemann, Gauss pasó por alto los dos primeros y pidió que Riemann conferenciara sobre su tercer tema. Este tema era nuevo, repleto de controversias y de peligros y sin euclidianismos. Pero después de un trabajo intensivo Riemann dio una conferencia en la facultad de Filosofía de Góttingen en la que sin utilizar ni una sola figura o fórmula, propugnó un concepto radicalmente nuevo de la estructura del espacio geométrico. Probablemente nadie lo comprendió, pero, para Gauss, Riemann iba encaminado a los mundos de la cuarta, quinta, sexta y enésima dimensiones.
La geometría de Riemann de muchas dimensiones, así como es difícil de apreciar en términos visuales, es bastante fácil de concebir cómo una posibilidad abstracta: como una simple progresión a partir de una línea en el espacio unitario de la longitud, a un plano en el espacio «bidimensional» de anchura y longitud, a un sólido en el espacio «tridimensional» de altura, anchura y profundidad, y de aquí a espacios de más dimensiones, por ejemplo, de altura, anchura, profundidad y tiempo.
Para poner su idea multidimensional en órbita, Riemann, apoyándose en parte en conceptos desarrollados por Gauss, generalizó las propiedades de las curvas y superficies de forma tal que pudieron aplicarse a los espacios. Puede obtenerse una apreciación del noble vuelo mental de Riemann a partir de un solo ejemplo detallado referente a la muy importante propiedad geométrica de la «curvatura». La curvatura de una curva es la proporción en que curva. Una medida de esta proporción es la medida del círculo oscilador en un punto. Si el círculo que más se acerca a la curva en este punto es muy pequeño, entonces la curva se cierra poco a poco y tiene una pequeña curvatura.
La curvatura de una superficie se define casi de la misma forma que la curvatura de una curva. En cualquier punto de una superficie la curvatura no tiene por qué ser la misma en todas direcciones. Una montaña, por ejemplo, tiende a disminuir su pendiente en proporciones distintas. La cúspide, no obstante, puede interpretarse como el punto de intersección de un número infinito de curvas que ascienden por un lado y descienden por el otro. En la cúspide una de estas curvas tendrá una curvatura superior que las demás y otra tendrá una curvatura inferior a las otras. Gauss había averiguado que la curvatura en un punto cualquiera de la superficie puede definirse útilmente como el producto de las curvaturas mayor y menor de todas las líneas que constituyen la superficie en aquel punto. Este producto se llama en la actualidad «la curvatura gaussiana».
Si un punto en una superficie está situado en el equivalente a un puerto de montaña en donde el terreno, hacia el este y oeste se inclina hacia arriba, y el terreno al norte y al sur se inclina hacia abajo, entonces el mínimo de curvatura hacia abajo es una curvatura hacia arriba, en otras palabras, una curvatura negativa hacia abajo. Por la definición de Gauss, la superficie de curvatura en un punto del puerto debe ser el producto de una negativa y una positiva - por lo tanto negativa -. Un ejemplo de una superficie con curvatura negativa es la silla de montar del Oeste de los Estados Unidos. Una superficie de curvatura positiva es una que siempre da vueltas para encontrarse a sí misma, como la cáscara de un huevo.
Gauss había encontrado también que la curvatura de una superficie puede definirse no sólo en términos de una persona que mira a la superficie desde el exterior sino equivalente en términos de mediciones realizadas dentro de la delgada superficie propiamente. Riemann amplió esta última idea acerca de la curvatura de la superficie hasta dar una descripción matemática exacta de la curvatura del espacio. Al realizar este aterrador pensamiento abstracto, se apoyó en gran parte en un análisis exhaustivo que realizó utilizando la red de referencias de los sistemas coordinados. En el sistema cartesiano, las líneas de referencia son líneas rectas en un plano. En la esfera de la tierra las líneas de referencia son las de la latitud y longitud. En un huevo pudieran ser círculos, en una dirección, y óvalos en la otra. En el reflector de un faro de carretera de un coche, pudieran ser círculos en una dirección y parábolas en la otra.
Riemann se dio cuenta de que toda superficie o espacio de su geometría superior podía trazarse por medio de distintas redes de curvas de referencia. Y halló que las ecuaciones escritas en términos de un sistema de coordenadas a menudo podían ser ampliamente simplificadas al escribirse en términos de un conjunto distinto de curvas de referencia. Uno de los más prácticos conjuntos de curvas de referencia está formado por las llamadas «geodésicas». Una geodésica es simplemente el camino de la distancia más corta entre dos puntos. En un espacio plano una geodésica es un segmento de línea recta. En una esfera es un arco de un círculo máximo análogo al que siguen los jets intercontinentales. En una superficie irregular en forma de lámpara o en un espacio curvo, prácticamente puede ser cualquier tipo de curva. Al manipular ecuaciones diferenciales elaboradas para minimizar las distancias, Riemann halló que podía trazar redes geodésicas de líneas de referencia y seguir la curvatura de cualquier espacio desde tres dimensiones hasta n dimensiones.
Riemann se dio cuenta de que toda superficie o espacio de su geometría superior podía trazarse por medio de distintas redes de curvas de referencia. Y halló que las ecuaciones escritas en términos de un sistema de coordenadas a menudo podían ser ampliamente simplificadas al escribirse en términos de un conjunto distinto de curvas de referencia. Uno de los más prácticos conjuntos de curvas de referencia está formado por las llamadas «geodésicas». Una geodésica es simplemente el camino de la distancia más corta entre dos puntos. En un espacio plano una geodésica es un segmento de línea recta. En una esfera es un arco de un círculo máximo análogo al que siguen los jets intercontinentales. En una superficie irregular en forma de lámpara o en un espacio curvo, prácticamente puede ser cualquier tipo de curva. Al manipular ecuaciones diferenciales elaboradas para minimizar las distancias, Riemann halló que podía trazar redes geodésicas de líneas de referencia y seguir la curvatura de cualquier espacio desde tres dimensiones hasta n dimensiones.
En esta atrevida geometría, Riemann pareció prescindir del sentido común, pero el arte del análisis ganó mucho en destreza. Al igual que en el enlace entre el álgebra y la geometría plana realizado por Descartes, las ecuaciones con muchas variables encuentran ahora sus correspondientes geométricos, y los nuevos símbolos de la geometría superior se convirtieron en útiles colaboradores de las ecuaciones. Y en todo momento las ideas en la parte inferior de todo el marco de elaboración eran simples como las de curvatura: definiciones realistas que demostraron tener validez en el mundo tangible de reducida dimensionalidad.
Gauss murió en 1855, poco después que naciera la geometría multidimensional. Pero las ideas que se habían incubado en su mente durante 50 años fueron desarrolladas por Riemann y sus sucesores, para convertirse en los métodos prácticos que manejara Einstein 50 años después al dar al hombre moderno orientaciones sobre la estructura del universo.
Gauss murió en 1855, poco después que naciera la geometría multidimensional. Pero las ideas que se habían incubado en su mente durante 50 años fueron desarrolladas por Riemann y sus sucesores, para convertirse en los métodos prácticos que manejara Einstein 50 años después al dar al hombre moderno orientaciones sobre la estructura del universo.
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