Descartes confiaba en que podría remediar todo este enredo. Aunque tal ambición era poco común en un muchacho de 20 años, en su caso sí iba a tener un resultado muy poco común. Iba a hacer todo cuanto soñó, y a refundir el pensamiento humano como sólo lo han hecho un grupo de hombres en el curso de la historia. Lo que todavía es más desusado, iba a llevar a cabo su resolución por medio de una filosofía fresca que surgió de las matemáticas. Ésta fue la «geometría analítica», que unificó toda la aritmética, el álgebra y la geometría anteriores en una técnica unitaria - una técnica consistente en considerar los números como puntos en un gráfico, las ecuaciones como formas geométricas y las formas como ecuaciones -. La geometría analítica se transformó en los cimientos sobre los que se construyeron la mayor parte de las matemáticas superiores actuales y gran parte de las ciencias exactas.
El mundo al que salió Descartes en el invierno de 1616 se reavivó con ideas frescas e intrépidas hazañas: los protestantes proclamando sus austeros patrones de conciencia individual; naciones rivales proyectando imperios en el extranjero; los comerciantes holandeses de pieles haciendo tratos en Manhattan; los colonos ingleses luchando para sobrevivir en Jamestown. Los amantes del teatro en Londres lamentaban la reciente muerte de Shakespeare. Monteverdi estaba componiendo las primeras grandes óperas mundiales. William Harvey había justamente iniciado las conferencias en que describía el corazón, no como un centro de emociones, sino como una bomba para la sangre. Kepler estaba preparando la publicación de la tercera y última de sus leyes. La idea de que el sol es el centro del sistema solar - propugnada por el astrónomo polaco Copérnico - había sido precisamente calificada de herejía por la Santa Iglesia en Roma; Galileo, ocupado con el telescopio que acababa de descubrir había sido prevenido de que cesara en su entusiasta apoyo de la idea.
En medio de esta amplia onda de creatividad, el joven Descartes llegó al convencimiento de que el mundo necesitaba una fórmula que disciplinara el pensamiento racional y unificara el conocimiento. Se dispuso a encontrarla en el «conocimiento de mí mismo» y en el «gran libro del mundo». Después de probar brevemente los placeres de París, se convirtió en caballero de armas del príncipe holandés de Nassau y después del duque alemán de Baviera. Mientras fue soldado pasó la mayor parte del tiempo, como él mismo dice, «con la cabeza y las orejas en el estudio de las matemáticas, rama del conocimiento que le encantaba... debido a la certidumbre de sus pruebas y la evidencia de sus razonamientos». En el espacio de dos años, a la edad de 22, empezó a desarrollar su «geometría analítica». En un año más había ideado también «el discurso del método», que iba a hacerle famoso como filósofo.
2. Una sesión en una estufa
Este «método» acudió a su mente durante un solo día de revelación en un campamento militar a orillas del Danubio. Era un día frío y Descartes lo pasó meditando en una habitación pequeña y caliente conocida en aquellos tiempos por una «estufa». Lo que formuló en la estufa y elaboró subsiguientemente, fue la doctrina de que todo el conocimiento - tanto pasado como futuro - debía de elaborarse en términos de razonamiento matemático. Descartes propuso que los intelectuales contemporáneos dejaran de fiarse tan profundamente de las ideas antiguas y que empezaran de nuevo. Indicó la necesidad de que trataran de explicar toda la naturaleza a través de un esquema científico deductivo. Éste - consideró- debía empezar con variedades axiomáticas simples y proseguir hasta los conceptos difíciles. «Las largas cadenas de razonamientos simples y fáciles a través de los cuales los geómetras están acostumbrados a alcanzar las conclusiones más difíciles de sus demostraciones -escribió - me habían llevado a imaginar que todas las cosas de cuyo conocimiento son capaces los hombres están mutuamente conectadas entre sí de la misma forma.»
Esta visión de Descartes sigue siendo la ambición de la ciencia moderna. Pero el propio Descartes tuvo dificultad en establecer los axiomas básicos de los que tenía que partir su gran diseño. Cuanto más buscaba verdades fundamentales, menos las encontraba. Al final no pudo encontrar ninguna a excepción de la simple afirmación, “Cogito, ergo sum” - «Pienso, por lo tanto, existo» - con la que quería decir que no podía hallar bases mejores para empezar a comprender el mundo real que la habilidad del hombre para utilizar su propia mente.
Hasta 18 años después de la revelación en la estufa, Descartes no compartió su filosofía con el público. Realizó una prueba provisional en un libro y después voluntariamente la suprimió, como deferencia a su fe católica, ya que suscribía con ella las ideas herejes de Copérnico en torno al universo. Finalmente, después de repetidas sugerencias de los amigos, Descartes, en 1637, publicó el Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón. Obra fundamental en filosofía, inmediatamente le situó como uno de los grandes pensadores de la época.
Descartes concluyó El Método con tres ejemplos concretos sobre cómo podía ser aplicado. Los dos primeros pretendían explicar el comportamiento de las lentes y el movimiento de los astros. El tercero fue una nota marginal de 106 páginas, La Geometría, a la que los matemáticos todavía se refieren afectuosamente por su nombre en francés, La Géométrie. Este extenso apéndice constituía, según el filósofo inglés del siglo XIX, John Stuart Mill, «el mayor paso unitario jamás realizado en el progreso de las ciencias exactas». Es extraño que Descartes enterrara esta joya al final de su libro. En los tres siglos siguientes la geometría analítica iba a dejar atrás la filosofía como base para la creación de la ciencia que había soñado Descartes. Y a pesar de esto él, propiamente, nunca la continuó más allá de su breve original.
La Géométrie propugnaba la idea de que un par de números pueden determinar una posición en una superficie: un número como una distancia medida horizontalmente, el otro como una distancia medida verticalmente. Esta idea se ha convertido en familiar a quien utiliza papel cuadriculado, lee el plano de una calle o estudia las líneas de latitud y longitud en un atlas. El papel cuadriculado no se había inventado en la época de Descartes, pero el concepto del gráfico propiamente, con su utilización de líneas cruzadas para fines de referencia, estaba contenido en su obra. Descartes mostró que con un par de líneas rectas que se corten como varas de medir se podía construir toda una red de líneas de referencia, en las que los números se podían designar por puntos; que si las ecuaciones algebraicas eran representadas como secuencias de puntos, aparecerían como formas geométricas; y que las formas geométricas, a su vez, podían traducirse en secuencias de números representadas por ecuaciones. En honor a Descartes denominamos a las primitivas líneas que se cortan, el sistema de «coordenadas cartesianas» en el que la línea vertical se conoce por el eje y, y la línea horizontal por el eje x. La forma en que funciona el gráfico cartesiano en términos de un plano de calles, puede verse en los esquemas anteriores.
A través del concepto de coordenadas con que expuso su geometría analítica, Descartes dio a los matemáticos nuevo enfoque para el tratamiento de la información matemática. Mostró que todas las ecuaciones de segundo grado, o cuadráticas, cuando se representaban como puntos unidos, se convertían en líneas rectas, círculos, elipses, parábolas o hipérbolas - las secciones cónicas en las que Apolonio había derrochado tanto ingenio unos 1900 años antes -. Cuando la ecuación x2 – y2 = 0 se representa gráficamente, se transforma en dos líneas rectas que se cortan, la ecuación x2 + y2 = 9 se transforma en un círculo, x2 – y2 = 9 en una hipérbola, x2 + 2y2 = 9 en una elipse, y x2 = 9y en una parábola. Lo que es más, Descartes prosiguió hasta demostrar que la ecuación general que representaba a todas las cuadráticas
Este «método» acudió a su mente durante un solo día de revelación en un campamento militar a orillas del Danubio. Era un día frío y Descartes lo pasó meditando en una habitación pequeña y caliente conocida en aquellos tiempos por una «estufa». Lo que formuló en la estufa y elaboró subsiguientemente, fue la doctrina de que todo el conocimiento - tanto pasado como futuro - debía de elaborarse en términos de razonamiento matemático. Descartes propuso que los intelectuales contemporáneos dejaran de fiarse tan profundamente de las ideas antiguas y que empezaran de nuevo. Indicó la necesidad de que trataran de explicar toda la naturaleza a través de un esquema científico deductivo. Éste - consideró- debía empezar con variedades axiomáticas simples y proseguir hasta los conceptos difíciles. «Las largas cadenas de razonamientos simples y fáciles a través de los cuales los geómetras están acostumbrados a alcanzar las conclusiones más difíciles de sus demostraciones -escribió - me habían llevado a imaginar que todas las cosas de cuyo conocimiento son capaces los hombres están mutuamente conectadas entre sí de la misma forma.»
Esta visión de Descartes sigue siendo la ambición de la ciencia moderna. Pero el propio Descartes tuvo dificultad en establecer los axiomas básicos de los que tenía que partir su gran diseño. Cuanto más buscaba verdades fundamentales, menos las encontraba. Al final no pudo encontrar ninguna a excepción de la simple afirmación, “Cogito, ergo sum” - «Pienso, por lo tanto, existo» - con la que quería decir que no podía hallar bases mejores para empezar a comprender el mundo real que la habilidad del hombre para utilizar su propia mente.
Hasta 18 años después de la revelación en la estufa, Descartes no compartió su filosofía con el público. Realizó una prueba provisional en un libro y después voluntariamente la suprimió, como deferencia a su fe católica, ya que suscribía con ella las ideas herejes de Copérnico en torno al universo. Finalmente, después de repetidas sugerencias de los amigos, Descartes, en 1637, publicó el Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón. Obra fundamental en filosofía, inmediatamente le situó como uno de los grandes pensadores de la época.
Descartes concluyó El Método con tres ejemplos concretos sobre cómo podía ser aplicado. Los dos primeros pretendían explicar el comportamiento de las lentes y el movimiento de los astros. El tercero fue una nota marginal de 106 páginas, La Geometría, a la que los matemáticos todavía se refieren afectuosamente por su nombre en francés, La Géométrie. Este extenso apéndice constituía, según el filósofo inglés del siglo XIX, John Stuart Mill, «el mayor paso unitario jamás realizado en el progreso de las ciencias exactas». Es extraño que Descartes enterrara esta joya al final de su libro. En los tres siglos siguientes la geometría analítica iba a dejar atrás la filosofía como base para la creación de la ciencia que había soñado Descartes. Y a pesar de esto él, propiamente, nunca la continuó más allá de su breve original.
La Géométrie propugnaba la idea de que un par de números pueden determinar una posición en una superficie: un número como una distancia medida horizontalmente, el otro como una distancia medida verticalmente. Esta idea se ha convertido en familiar a quien utiliza papel cuadriculado, lee el plano de una calle o estudia las líneas de latitud y longitud en un atlas. El papel cuadriculado no se había inventado en la época de Descartes, pero el concepto del gráfico propiamente, con su utilización de líneas cruzadas para fines de referencia, estaba contenido en su obra. Descartes mostró que con un par de líneas rectas que se corten como varas de medir se podía construir toda una red de líneas de referencia, en las que los números se podían designar por puntos; que si las ecuaciones algebraicas eran representadas como secuencias de puntos, aparecerían como formas geométricas; y que las formas geométricas, a su vez, podían traducirse en secuencias de números representadas por ecuaciones. En honor a Descartes denominamos a las primitivas líneas que se cortan, el sistema de «coordenadas cartesianas» en el que la línea vertical se conoce por el eje y, y la línea horizontal por el eje x. La forma en que funciona el gráfico cartesiano en términos de un plano de calles, puede verse en los esquemas anteriores.
A través del concepto de coordenadas con que expuso su geometría analítica, Descartes dio a los matemáticos nuevo enfoque para el tratamiento de la información matemática. Mostró que todas las ecuaciones de segundo grado, o cuadráticas, cuando se representaban como puntos unidos, se convertían en líneas rectas, círculos, elipses, parábolas o hipérbolas - las secciones cónicas en las que Apolonio había derrochado tanto ingenio unos 1900 años antes -. Cuando la ecuación x2 – y2 = 0 se representa gráficamente, se transforma en dos líneas rectas que se cortan, la ecuación x2 + y2 = 9 se transforma en un círculo, x2 – y2 = 9 en una hipérbola, x2 + 2y2 = 9 en una elipse, y x2 = 9y en una parábola. Lo que es más, Descartes prosiguió hasta demostrar que la ecuación general que representaba a todas las cuadráticas
ax2 + bxy + cy2 = d
se transforma inevitablemente en una curva cónica cuando se la representa.
Al ir más allá de las ecuaciones cuadráticas, Descartes estableció que cada clase de ecuaciones da lugar a toda una nueva familia de curvas -cardioides, conchoides, foliums de pétalos, helicoides, lemniscatas. El grado de una ecuación determina el número máximo de puntos de intersección que la curva representativa de la ecuación puede tener con una línea recta. Una curva de primer grado -es decir, una línea recta puede cortar a otra línea recta sólo una vez. Una curva cónica de segundo grado puede ser cortada por una línea recta sólo en dos puntos. Las curvas cúbicas, las cuales una línea recta sólo puede cortarlas tres veces, tienen a menudo forma de S. Las curvas de cuarto grado, con cuatro posibles puntos de intersección, pueden tener la forma de una W o un número 8. Incluso la figura femenina, con su forma de reloj de arena, puede expresarse algebraicamente con una ecuación.
Las curvas que representan a una ecuación de un cierto grado tienen muchas características comunes - tantas, de hecho, que cada una caracteriza por sí misma una clase de curvas y hace que un matemático pueda hablar de una curva de «quinto grado» o de «séptimo grado» a un colega y suscitar un gran conjunto de características geométricas específicas, peculiares a todos los miembros de la familia de curvas en cuestión.
Gracias a la geometría analítica, cada ecuación puede convertirse en una forma geométrica y toda forma geométrica en una ecuación, Algunas formas, ciertamente, pueden ser representadas solamente por ecuaciones indefinidamente largas y algunas ecuaciones representan formas difíciles de visualizar llenas de discontinuidades y puntos múltiples. No obstante, toda forma geométrica tiene su equivalente en forma algebraica.
En su contenido totalmente comprensivo del conocimiento matemático pasado, la geometría analítica iba a crecer mucho más allá de la breve presentación de Descartes, y no iba a tocar nada de las matemáticas sin transformarlo. Ramas del pensamiento matemático que parecían diferentes fueron conducidas ahora a su vertiente principal. Una fue la antigua técnica de la trigonometría, otra la reciente creación de los logaritmos.
Las curvas que representan a una ecuación de un cierto grado tienen muchas características comunes - tantas, de hecho, que cada una caracteriza por sí misma una clase de curvas y hace que un matemático pueda hablar de una curva de «quinto grado» o de «séptimo grado» a un colega y suscitar un gran conjunto de características geométricas específicas, peculiares a todos los miembros de la familia de curvas en cuestión.
Gracias a la geometría analítica, cada ecuación puede convertirse en una forma geométrica y toda forma geométrica en una ecuación, Algunas formas, ciertamente, pueden ser representadas solamente por ecuaciones indefinidamente largas y algunas ecuaciones representan formas difíciles de visualizar llenas de discontinuidades y puntos múltiples. No obstante, toda forma geométrica tiene su equivalente en forma algebraica.
En su contenido totalmente comprensivo del conocimiento matemático pasado, la geometría analítica iba a crecer mucho más allá de la breve presentación de Descartes, y no iba a tocar nada de las matemáticas sin transformarlo. Ramas del pensamiento matemático que parecían diferentes fueron conducidas ahora a su vertiente principal. Una fue la antigua técnica de la trigonometría, otra la reciente creación de los logaritmos.
3. Aplicación de la trigonometría a la astronomía
La trigonometría -el estudio de los triángulos- había servido, desde los primitivos babilonios hasta justamente antes de Descartes, como un auxiliar puramente práctico de la agrimensura, la astronomía y la navegación. Los astrólogos y los navegantes necesitaban calcular distancias no mensurables con regla o con cinta métrica. La trigonometría les permitió realizar tales cálculos aplicando determinadas reglas básicas acerca de las relaciones entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo, por grande o pequeño que fuera. Estas relaciones, o proporciones, fueron establecidas inicialmente por los griegos para analizar los arcos de los círculos. El primer hombre que se sabe empleó estas relaciones fue el astrónomo Hiparco, quien las utilizó alrededor del año 140 a. de J. para encontrar distancias en línea recta a través de la bóveda celeste.
La trigonometría -el estudio de los triángulos- había servido, desde los primitivos babilonios hasta justamente antes de Descartes, como un auxiliar puramente práctico de la agrimensura, la astronomía y la navegación. Los astrólogos y los navegantes necesitaban calcular distancias no mensurables con regla o con cinta métrica. La trigonometría les permitió realizar tales cálculos aplicando determinadas reglas básicas acerca de las relaciones entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo, por grande o pequeño que fuera. Estas relaciones, o proporciones, fueron establecidas inicialmente por los griegos para analizar los arcos de los círculos. El primer hombre que se sabe empleó estas relaciones fue el astrónomo Hiparco, quien las utilizó alrededor del año 140 a. de J. para encontrar distancias en línea recta a través de la bóveda celeste.
En la actualidad las tres relaciones más utilizadas se refieren al triángulo y son denominadas seno (abreviatura, sen), coseno (cos) y tangente (tg). Lo que estas relaciones representan exactamente, y la forma en que se aplican para talar un árbol sin exponerse a romper el tejado, puede verse en las páginas siguientes.
Las relaciones representadas por el seno, coseno y tangente de un ángulo varían en valor numérico a medida que varía la abertura de los ángulos. Los griegos calcularon dichos valores y los dispusieron en tablas trigonométricas que los matemáticos más tarde perfeccionaron y ampliaron. Estas tablas fueron, durante mucho tiempo, una mera forma de matemáticas aplicadas, de los navegantes celestes y terrestres. Después, el notable algebraico francés, Francis Vieta, que precedió a Descartes en medio siglo, hizo una observación vital. Percibió que una relación o razón trigonométrica podía utilizarse para resolver una ecuación algebraica; que, en efecto, una serie de números de una tabla podían representar los valores sucesivos tomados por una incógnita. La proposición de que «el seno del ángulo x es y» puede también escribirse así
Las relaciones representadas por el seno, coseno y tangente de un ángulo varían en valor numérico a medida que varía la abertura de los ángulos. Los griegos calcularon dichos valores y los dispusieron en tablas trigonométricas que los matemáticos más tarde perfeccionaron y ampliaron. Estas tablas fueron, durante mucho tiempo, una mera forma de matemáticas aplicadas, de los navegantes celestes y terrestres. Después, el notable algebraico francés, Francis Vieta, que precedió a Descartes en medio siglo, hizo una observación vital. Percibió que una relación o razón trigonométrica podía utilizarse para resolver una ecuación algebraica; que, en efecto, una serie de números de una tabla podían representar los valores sucesivos tomados por una incógnita. La proposición de que «el seno del ángulo x es y» puede también escribirse así
y = sen x
una ecuación válida, digamos, como y = x2 + 7x. La forma en que el descubrimiento de Vieta amplió el alcance de la trigonometría se aclaró aún más cuando Descartes introdujo su técnica de los gráficos. Una ecuación tal como y = sen x podía ahora representarse de hecho, punto por punto, para crear una curva en un papel; incidentalmente, constituye una línea ondulada sin fin - el equivalente gráfico del flujo y reflujo de la corriente eléctrica en un cable de corriente alterna.
Al igual que con la trigonometría, el sistema cartesiano alcanzó y absorbió la parte externa de las matemáticas que todo estudiante de bachillerato conoce por el nombre de «logaritmos». Un logaritmo es el «exponente» de un número, que indica a qué potencia debe de elevarse el número a fin de producir otro número dado. Al familiarizarse con los logaritmos, pueden ahorrarse gran cantidad de operaciones aritméticas. Esta fue precisamente la intención del inventor de los logaritmos, John Napier, barón de Merchiston, el mismo que utilizó por primera vez la coma decimal en su contexto moderno.
Este modesto e incansable escocés concibió la idea de los logaritmos cuatro décadas antes de que Descartes publicara su Método. Después de más de 20 años de cálculos, Napier mostró, en esencia, que todo número - independientemente del número de dígitos que contenga - puede expresarse en términos del número 10 elevado a tal y cual potencia. De la misma forma que 100 es 102, 56 es 101,74819 y 23 es 101,36173. Además, cuando los exponentes de estos dos últimos 10 se suman, el resultado es una nueva potencia de 10, 103,10992, que al hacer la operación resulta 1.288, o 56 multiplicado por 23. Al restar el menor de estos dos exponentes de 10 del mayor resulta 100,38646 que al hacer la operación es el número que resulta de dividir 56 por 2,43478.
Al igual que con la trigonometría, el sistema cartesiano alcanzó y absorbió la parte externa de las matemáticas que todo estudiante de bachillerato conoce por el nombre de «logaritmos». Un logaritmo es el «exponente» de un número, que indica a qué potencia debe de elevarse el número a fin de producir otro número dado. Al familiarizarse con los logaritmos, pueden ahorrarse gran cantidad de operaciones aritméticas. Esta fue precisamente la intención del inventor de los logaritmos, John Napier, barón de Merchiston, el mismo que utilizó por primera vez la coma decimal en su contexto moderno.
Este modesto e incansable escocés concibió la idea de los logaritmos cuatro décadas antes de que Descartes publicara su Método. Después de más de 20 años de cálculos, Napier mostró, en esencia, que todo número - independientemente del número de dígitos que contenga - puede expresarse en términos del número 10 elevado a tal y cual potencia. De la misma forma que 100 es 102, 56 es 101,74819 y 23 es 101,36173. Además, cuando los exponentes de estos dos últimos 10 se suman, el resultado es una nueva potencia de 10, 103,10992, que al hacer la operación resulta 1.288, o 56 multiplicado por 23. Al restar el menor de estos dos exponentes de 10 del mayor resulta 100,38646 que al hacer la operación es el número que resulta de dividir 56 por 2,43478.
Los matemáticos lo han enunciado en las «leyes de los exponentes»: la suma de los exponentes es equivalente a la multiplicación, y la resta de éstos es equivalente a la división. Napier arregló sus cálculos logarítmicos en tablas apropiadas.
Para calcular 56 multiplicado por 23 no se precisa más que un lápiz y un pedazo de papel o, a lo sumo, la ayuda manual para abreviar cálculos conocida por la regla de cálculo, artilugio que consiste en un par de reglas divididas en escalas logarítmicas y unidas de forma tal que una pueda deslizarse sobre la otra (ilustrado abajo).
Donde el sublime trabajo de Napier mayor resonancia adquiere es en las laboriosas y largas computaciones - cuando, por ejemplo, un economista divide 503.443.000.000 dólares, nuestro producto nacional bruto en 1960, por nuestra población en aquel año, 179.323.175 habitantes.
El desarrollo del sistema cartesiano hizo posible trazar curvas para las relaciones logarítmicas tales como y = log x con tanta facilidad como lo hizo para las relaciones trigonométricas, tales como y = sen x. Al hacer posible que tales ecuaciones, así como todas las ecuaciones algebraicas, se expresaran por medio de líneas y puntos visibles y viables, el gráfico cartesiano, en efecto, captó y suavizó las cambiantes relaciones entre cantidades interrelacionadas. De este triunfo derivó un concepto fundamental para todas las matemáticas superiores: la idea de «variables» y «funciones».
Para calcular 56 multiplicado por 23 no se precisa más que un lápiz y un pedazo de papel o, a lo sumo, la ayuda manual para abreviar cálculos conocida por la regla de cálculo, artilugio que consiste en un par de reglas divididas en escalas logarítmicas y unidas de forma tal que una pueda deslizarse sobre la otra (ilustrado abajo).
Donde el sublime trabajo de Napier mayor resonancia adquiere es en las laboriosas y largas computaciones - cuando, por ejemplo, un economista divide 503.443.000.000 dólares, nuestro producto nacional bruto en 1960, por nuestra población en aquel año, 179.323.175 habitantes.
El desarrollo del sistema cartesiano hizo posible trazar curvas para las relaciones logarítmicas tales como y = log x con tanta facilidad como lo hizo para las relaciones trigonométricas, tales como y = sen x. Al hacer posible que tales ecuaciones, así como todas las ecuaciones algebraicas, se expresaran por medio de líneas y puntos visibles y viables, el gráfico cartesiano, en efecto, captó y suavizó las cambiantes relaciones entre cantidades interrelacionadas. De este triunfo derivó un concepto fundamental para todas las matemáticas superiores: la idea de «variables» y «funciones».
Un sen, o cos, o una tangente de un ángulo, es una función de aquel ángulo; de forma análoga, un logaritmo es una función del número que representa. En una ecuación, y es una función de x si los valores de y varían cuando lo hacen los de x.
Aunque aparentemente de interés remoto para todos, excepto el matemático, la idea de variables y funciones ha pasado a ser ubicua. Si se muestra que la humedad del aire viene afectada por la temperatura, es una función de la temperatura. La presión sanguínea de un gerente, que sube a cada cumpleaños, es una función de su edad. La distancia recorrida por su coche es una función del tiempo y de la velocidad.
Más allá de dar ímpetu al concepto de variables y funciones, más allá de hacer posible un alcance más completo a los anteriores descubrimientos matemáticos, la contribución básica del sistema cartesiano a las matemáticas fue esencialmente filosófica. Al permitir una amplia intercambiabilidad de puntos de vista, dio lugar a la libertad matemática conocida ahora por «análisis», que abarca la mayor parte de las matemáticas superiores inventadas desde la época de Descartes.
Un algebraico que se embarca en una de sus salidas más abstractas y termina dudando acerca de su dirección, puede trazar curvas para sus ecuaciones, aclarando más de esta forma las x y las y. El que practica la geometría, por otro lado, puede realizar largas cadenas de razonamientos con una rapidez considerable manipulando las formas como ecuaciones.
En toda cuestión de aplicaciones concretas, todo cambio y movimiento en la naturaleza puede considerarse ahora en forma de doble contenido cual es el de la ecuación o la curva. El constructor de un puente puede expresar la curva de un cable flojo como una ecuación y, a través de sus x e y, aumentar la comprensión sobre las tensiones del puente. El científico experimental puede transformar todas las interrelaciones y fluctuaciones que mide en la naturaleza en conjuntos de números que pueden ser representados sobre papel. Si, después de repetidas pruebas de un solo experimento, obtiene la misma curva y ecuación, puede llegar a formular una ley que vale la pena de interpretar por medio de palabras e ideas. Una vez comprendida totalmente, puede combinarse con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades acerca de la naturaleza.
Aunque aparentemente de interés remoto para todos, excepto el matemático, la idea de variables y funciones ha pasado a ser ubicua. Si se muestra que la humedad del aire viene afectada por la temperatura, es una función de la temperatura. La presión sanguínea de un gerente, que sube a cada cumpleaños, es una función de su edad. La distancia recorrida por su coche es una función del tiempo y de la velocidad.
Más allá de dar ímpetu al concepto de variables y funciones, más allá de hacer posible un alcance más completo a los anteriores descubrimientos matemáticos, la contribución básica del sistema cartesiano a las matemáticas fue esencialmente filosófica. Al permitir una amplia intercambiabilidad de puntos de vista, dio lugar a la libertad matemática conocida ahora por «análisis», que abarca la mayor parte de las matemáticas superiores inventadas desde la época de Descartes.
Un algebraico que se embarca en una de sus salidas más abstractas y termina dudando acerca de su dirección, puede trazar curvas para sus ecuaciones, aclarando más de esta forma las x y las y. El que practica la geometría, por otro lado, puede realizar largas cadenas de razonamientos con una rapidez considerable manipulando las formas como ecuaciones.
En toda cuestión de aplicaciones concretas, todo cambio y movimiento en la naturaleza puede considerarse ahora en forma de doble contenido cual es el de la ecuación o la curva. El constructor de un puente puede expresar la curva de un cable flojo como una ecuación y, a través de sus x e y, aumentar la comprensión sobre las tensiones del puente. El científico experimental puede transformar todas las interrelaciones y fluctuaciones que mide en la naturaleza en conjuntos de números que pueden ser representados sobre papel. Si, después de repetidas pruebas de un solo experimento, obtiene la misma curva y ecuación, puede llegar a formular una ley que vale la pena de interpretar por medio de palabras e ideas. Una vez comprendida totalmente, puede combinarse con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades acerca de la naturaleza.
4. Filosofía con un sombrero con plumas
El hombre que abrió la puerta a las matemáticas superiores, paradójicamente, no se dedicó personalmente mucho tiempo a las matemáticas. En lugar de ello, Descartes, dedicado profesionalmente a la filosofía, decidió reconstruirla según sus propias luces. De regreso a París, después de la guerra, resultaba una figura excéntrica, con una espada al cinto, un sombrero con plumas. Por haber invertido su herencia hábilmente, vivió sin preocupaciones, padeció de mala salud y jamás se levantó antes de las once de la mañana. Los admiradores le molestaban; estuvo siempre buscando paz y tranquilidad para poder pensar. Se dedicó a investigaciones sobre la fisiología humana, cadáveres de animales, glaciares, meteoros, arco iris y altitudes de las montañas. Antes de la publicación de su Método insinuó que había hallado un medio de hacer al hombre omnisciente.
Aburrido de París, Descartes se fue a Holanda. Allí, en 1637, su monumental obra finalmente vio la luz de la imprenta. Durante el largo tiempo que duró su publicación, otro matemático, el teórico del número Pierre de Fermat, había desarrollado independientemente una buena parte de geometría analítica por su cuenta. Pero Fermat también tardó en escribir sus ideas y, por lo tanto, al final, a Descartes no se le despojó del reconocimiento de su invención.
Sólo el fraile francés padre Mersenne, que realizó la función de cámara de compensación científica de la época, y transmitió todas las comunicaciones de Descartes a los colegas filósofos y matemáticos, siempre sabía su dirección.
Descartes terminó de una forma tan desastrosa, en su aspecto tragicómico, como las trágicas muertes de Arquímedes e Hipatia. Durante su estancia en Holanda su popularidad, de un modo u otro, llegó a oídos de la reina Cristina de Suecia.
Descartes rechazó a esta amazona del Norte durante un año entero, pero cuando ella le mandó un barco de guerra a buscarlo, el halago era demasiado para él y subió valientemente a bordo. Cristina tenía grandes esperanzas en él. Iba a ayudarle a fundar una academia sueca de artes y letras y él iba a instruirla privadamente en filosofía. Liberalmente le concedió un período de tres semanas de aclimatación y después le arrastró - demasiado atemorizado para protestar mucho - a su temible régimen de propio mejoramiento. En cada una de las crudas mañanas del invierno escandinavo, antes de que apuntara el alba, en la enorme librería de su palacio en la que sólo la mitad tenía calefacción, Descartes trató de reunir su entumecido ingenio y exponer las investigaciones de la filosofía y las matemáticas. Pero el inveterado intelectual de las once de la mañana duró exactamente once semanas. Después, a la edad de cincuenta y cuatro años cogió la gripe y murió, demostrando así que los cuidados que se prodigó durante toda la vida eran acertados y los de la testaruda reina equivocados.
Era el año 1650, cuando los colegas de Descartes habían empezado ya a descarnar los huesos de La Géométrie. En aquella fecha un muchacho de ocho años llamado Isaac Newton hacía volar cometas con faroles para asustar a los habitantes de los pueblos del norte de Witham en Lincolnshire, Inglaterra. Y aquel niño, transcurridos unos años, iba a transformar la geometría analítica en las matemáticas más prácticas que jamás se inventaron - el cálculo, las matemáticas del movimiento.
El hombre que abrió la puerta a las matemáticas superiores, paradójicamente, no se dedicó personalmente mucho tiempo a las matemáticas. En lugar de ello, Descartes, dedicado profesionalmente a la filosofía, decidió reconstruirla según sus propias luces. De regreso a París, después de la guerra, resultaba una figura excéntrica, con una espada al cinto, un sombrero con plumas. Por haber invertido su herencia hábilmente, vivió sin preocupaciones, padeció de mala salud y jamás se levantó antes de las once de la mañana. Los admiradores le molestaban; estuvo siempre buscando paz y tranquilidad para poder pensar. Se dedicó a investigaciones sobre la fisiología humana, cadáveres de animales, glaciares, meteoros, arco iris y altitudes de las montañas. Antes de la publicación de su Método insinuó que había hallado un medio de hacer al hombre omnisciente.
Aburrido de París, Descartes se fue a Holanda. Allí, en 1637, su monumental obra finalmente vio la luz de la imprenta. Durante el largo tiempo que duró su publicación, otro matemático, el teórico del número Pierre de Fermat, había desarrollado independientemente una buena parte de geometría analítica por su cuenta. Pero Fermat también tardó en escribir sus ideas y, por lo tanto, al final, a Descartes no se le despojó del reconocimiento de su invención.
Sólo el fraile francés padre Mersenne, que realizó la función de cámara de compensación científica de la época, y transmitió todas las comunicaciones de Descartes a los colegas filósofos y matemáticos, siempre sabía su dirección.
Descartes terminó de una forma tan desastrosa, en su aspecto tragicómico, como las trágicas muertes de Arquímedes e Hipatia. Durante su estancia en Holanda su popularidad, de un modo u otro, llegó a oídos de la reina Cristina de Suecia.
Descartes rechazó a esta amazona del Norte durante un año entero, pero cuando ella le mandó un barco de guerra a buscarlo, el halago era demasiado para él y subió valientemente a bordo. Cristina tenía grandes esperanzas en él. Iba a ayudarle a fundar una academia sueca de artes y letras y él iba a instruirla privadamente en filosofía. Liberalmente le concedió un período de tres semanas de aclimatación y después le arrastró - demasiado atemorizado para protestar mucho - a su temible régimen de propio mejoramiento. En cada una de las crudas mañanas del invierno escandinavo, antes de que apuntara el alba, en la enorme librería de su palacio en la que sólo la mitad tenía calefacción, Descartes trató de reunir su entumecido ingenio y exponer las investigaciones de la filosofía y las matemáticas. Pero el inveterado intelectual de las once de la mañana duró exactamente once semanas. Después, a la edad de cincuenta y cuatro años cogió la gripe y murió, demostrando así que los cuidados que se prodigó durante toda la vida eran acertados y los de la testaruda reina equivocados.
Era el año 1650, cuando los colegas de Descartes habían empezado ya a descarnar los huesos de La Géométrie. En aquella fecha un muchacho de ocho años llamado Isaac Newton hacía volar cometas con faroles para asustar a los habitantes de los pueblos del norte de Witham en Lincolnshire, Inglaterra. Y aquel niño, transcurridos unos años, iba a transformar la geometría analítica en las matemáticas más prácticas que jamás se inventaron - el cálculo, las matemáticas del movimiento.
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